Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6325
2018-02-15 
Цилиндрический стакан до высоты $h$ заполнен кусочками льда. Поры между кусочками льда сквозные и в исходном состоянии заполнены воздухом. Льдинки занимают долю объема $\alpha = 60$%. Лед начинает таять, причем соотношение объемов льдинок и пор между ними остается неизменным. Найти высоту уровня воды в стакане в момент, когда растаяла доля льда $\beta = 70$ %. Плотность сплошного льда $\rho = 0,9 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{0} = 1 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
К моменту времени, когда растаяло 70% льда, остался пористый лед, имеющий толщину слоя $h (1 - \beta)$. Слой воды, проникший в поры льда (рис.), имеет толщину $h_{1} = h(1 - \beta) \rho / \rho_{0}$. Тогда масса воды в порах льда
$m_{0} = (1 - \alpha) \rho_{0}Sh_{1} = (1 - \alpha)(1 - \beta) \rho hS$.
В результате таяния образовалась масса воды
$m_{0}^{ \prime} = \alpha \beta h S \rho$.
Если $m_{0}^{ \prime} - m_{0} > 0$, то лед всплывает (т. е. для всплывания льда должно быть $\alpha + \beta > 1$, что реализуется по условиям задачи: $\alpha + \beta = 1,3$). Высота уровня воды под слоем льда
$h_{2} = \frac{m_{0}^{ \prime} - m_{0} }{ \rho_{0}S } = h ( \alpha + \beta - 1) \frac{ \rho}{ \rho_{0}}$.
Искомая полная высота уровня воды
$H = h_{1} + h_{2} = h[( \alpha + \beta - 1) + (1 - \beta)] \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = \alpha h \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = 0,54h$.
Если убедиться в том, что в результате таяния заданного количества льда оставшийся лед всплывает, то ответ можно получить сразу. Действительно, если лед плавает, то от его таяния уровень воды в сосуде не изменяется: лед, плавая, вытесняет воду массы, равную той, что имеет сам. Значит, при таянии образуется столько воды, сколько вытеснялось, и уровень воды не изменяется. Исходя из этого, предположим, что весь лед растаял, и найдем результирующую высоту уровня воды:
$h S \alpha \rho = H S \rho_{0}$; отсюда $H = \alpha h \rho / \rho_{0} = 0,54h$.
Цилиндрический стакан до высоты $h$ заполнен кусочками льда. Поры между кусочками льда сквозные и в исходном состоянии заполнены воздухом. Льдинки занимают долю объема $\alpha = 60$%. Лед начинает таять, причем соотношение объемов льдинок и пор между ними остается неизменным. Найти высоту уровня воды в стакане в момент, когда растаяла доля льда $\beta = 70$ %. Плотность сплошного льда $\rho = 0,9 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{0} = 1 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Решение:
К моменту времени, когда растаяло 70% льда, остался пористый лед, имеющий толщину слоя $h (1 - \beta)$. Слой воды, проникший в поры льда (рис.), имеет толщину $h_{1} = h(1 - \beta) \rho / \rho_{0}$. Тогда масса воды в порах льда
$m_{0} = (1 - \alpha) \rho_{0}Sh_{1} = (1 - \alpha)(1 - \beta) \rho hS$.
В результате таяния образовалась масса воды
$m_{0}^{ \prime} = \alpha \beta h S \rho$.
Если $m_{0}^{ \prime} - m_{0} > 0$, то лед всплывает (т. е. для всплывания льда должно быть $\alpha + \beta > 1$, что реализуется по условиям задачи: $\alpha + \beta = 1,3$). Высота уровня воды под слоем льда
$h_{2} = \frac{m_{0}^{ \prime} - m_{0} }{ \rho_{0}S } = h ( \alpha + \beta - 1) \frac{ \rho}{ \rho_{0}}$.
Искомая полная высота уровня воды
$H = h_{1} + h_{2} = h[( \alpha + \beta - 1) + (1 - \beta)] \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = \alpha h \frac{ \rho}{ \rho_{0} } = 0,54h$.
Если убедиться в том, что в результате таяния заданного количества льда оставшийся лед всплывает, то ответ можно получить сразу. Действительно, если лед плавает, то от его таяния уровень воды в сосуде не изменяется: лед, плавая, вытесняет воду массы, равную той, что имеет сам. Значит, при таянии образуется столько воды, сколько вытеснялось, и уровень воды не изменяется. Исходя из этого, предположим, что весь лед растаял, и найдем результирующую высоту уровня воды:
$h S \alpha \rho = H S \rho_{0}$; отсюда $H = \alpha h \rho / \rho_{0} = 0,54h$.
