ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-02-15   
В цилиндрический сосуд, площадь основания которого равна $S$, налита сжимаемая жидкость массы $M$, плотность $\rho$ которой в результате действия силы тяжести зависит от глубины $h$ по закону $\rho = \rho_{0} (1 + ah)$. На сколько изменится высота столба жидкости, если в нее опустить кубик массы т, который при этом не ложится на дно (т. е. плавает в погруженном состоянии)?


Решение:


Выразим массу жидкости через среднюю плотность:

$M = \rho_{cp}h_{0}S = \frac{ \rho_{0} + \rho }{2} h_{0}S = \rho_{0}h_{0} \left ( 1 + \frac{ \alpha h_{0} }{2} \right ) S$;

отсюда

$ah_{0}^{2} +2h_{0} - \frac{2M}{S \rho_{0} } = 0, h_{0} = \frac{1}{ \alpha} \left [ \left ( 1 + \frac{2M \alpha }{S \rho_{0} } \right )^{1/2} - 1 \right ]$,
$h_{0} \approx \frac{M}{S \rho_{0} } \left ( 1 - \frac{ \alpha M}{ 2S \rho_{0} } \right )$ при $\alpha M \ll S \rho_{0}$.

При условии плавания кубика его погружение эквивалентно увеличению общей массы жидкости:

$h = \frac{1}{ \alpha} \left [ \left ( 1 + \frac{2(M + m) \alpha }{S \rho_{0} } \right )^{1/2} - 1 \right ]$.

Окончательно

$\Delta h = \frac{1}{ \alpha} \left [ \left ( 1 + \frac{2(M + m) \alpha }{S \rho_{0} } \right )^{1/2} - \left ( 1 + \frac{2M \alpha }{S \rho_{0} } \right )^{1/2} \right ]$
$\Delta h \approx \frac{m}{S \rho_{0} } \left [ 1 - \frac{ \alpha (M + m/2) }{ \rho_{0}S } \right ]$ при $\alpha M \ll S \rho_{0}$.