Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6316
2018-02-11 
На верхнюю точку закрепленного шара поставлена игрушка «ванька-встанька». Нижняя поверхность игрушки — полушар такого же радиуса, а центр тяжести ее — точка С, расположен на половине вертикального радиуса полушара. Упадет ли «ванька-встанька» с шара? Проскальзывания нет.
Решение:
Отклоним игрушку на угол $\alpha$ и посмотрим, что произойдет с центром тяжести. Если он опустится, то положение равновесия будет неустойчивым, игрушка упадет. На рис. отрезки $OA$ и $O^{ \prime}A^{ \prime}$ вертикальны, $C^{ \prime}B \perp O^{ \prime}A^{ \prime}$, т. е. отрезок $C^{ \prime}B$ горизонтален; легко доказать, что $\angle C^{ \prime} O^{ \prime} B = 2 \alpha$, а $\angle AO^{ \prime}A^{ \prime} = \alpha$. Тогда
$\Delta h = CA - BA^{ \prime} = CA - (O^{ \prime}A^{ \prime} + O^{ \prime}B ) = \frac{3R}{2} - \left (2R \cos \alpha + \frac{R}{2} \cos 2 \alpha \right ) = R (1 - \cos \alpha)^{2} > 0$.
Таким образом, центр тяжести опустится, игрушка упадет. Можно было бы проанализировать, слева или справа от точки опоры при отклонении игрушки пройдет вертикаль, опущенная из ее центра тяжести $C^{ \prime}$, и изучить характер равновесия, рассмотрев возникающие силы и моменты сил. Естественно, что вывод получился бы тем же: при отклонении игрушки возникают силы, которые увеличивают это отклонение, поэтому игрушка должна упасть.
На верхнюю точку закрепленного шара поставлена игрушка «ванька-встанька». Нижняя поверхность игрушки — полушар такого же радиуса, а центр тяжести ее — точка С, расположен на половине вертикального радиуса полушара. Упадет ли «ванька-встанька» с шара? Проскальзывания нет.
Решение:
Отклоним игрушку на угол $\alpha$ и посмотрим, что произойдет с центром тяжести. Если он опустится, то положение равновесия будет неустойчивым, игрушка упадет. На рис. отрезки $OA$ и $O^{ \prime}A^{ \prime}$ вертикальны, $C^{ \prime}B \perp O^{ \prime}A^{ \prime}$, т. е. отрезок $C^{ \prime}B$ горизонтален; легко доказать, что $\angle C^{ \prime} O^{ \prime} B = 2 \alpha$, а $\angle AO^{ \prime}A^{ \prime} = \alpha$. Тогда
$\Delta h = CA - BA^{ \prime} = CA - (O^{ \prime}A^{ \prime} + O^{ \prime}B ) = \frac{3R}{2} - \left (2R \cos \alpha + \frac{R}{2} \cos 2 \alpha \right ) = R (1 - \cos \alpha)^{2} > 0$.
Таким образом, центр тяжести опустится, игрушка упадет. Можно было бы проанализировать, слева или справа от точки опоры при отклонении игрушки пройдет вертикаль, опущенная из ее центра тяжести $C^{ \prime}$, и изучить характер равновесия, рассмотрев возникающие силы и моменты сил. Естественно, что вывод получился бы тем же: при отклонении игрушки возникают силы, которые увеличивают это отклонение, поэтому игрушка должна упасть.
