Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6308
2018-02-11 
1) Два шарика масс $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные невесомым жестким стержнем длины $l$, покоятся в сферической полости радиуса $R$. Под каким углом $\alpha$ к горизонту расположится стержень? Трением пренебречь.
2) В гладкой закрепленной полусфере свободно лежит стержень массы $m$, так что его угол с горизонтом равен $\alpha$, a один конец выходит за край полусферы. Найти силы, с которыми действует стержень на полусферу в точках соприкосновения с ней.
Решение:
1) Из условия равновесия системы имеем
$m_{1}g \cos ( \beta - \alpha ) = m_{2}g \cos ( \beta + \alpha )$;
где угол $\beta$ определяется условием $\cos \beta = l/2R$; отсюда, используя известную из алгебры связь (если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c + d}{c - d}$ ), получаем
$\frac{m_{1} + m_{2} }{ m_{1} - m_{2} } = \frac{ \cos ( \beta - \alpha) + \cos ( \beta + \alpha) }{ \cos ( \beta - \alpha) - \cos ( \beta + \alpha ) } = \frac{ \cos \alpha \cos \beta}{ \sin \alpha \sin \beta } = \frac{l ctg \alpha}{ \sqrt{4R^{2} - l^{2} } }$.
Окончательно
$tg \alpha = \frac{m_{2} - m_{1} }{ m_{2} + m_{1} } \frac{l}{ \sqrt{4R^{2} - l^{2} } }$.
К этому же результату приводит условие, что при устойчивом равновесии центр тяжести занимает самое низкое положение:
$tg \alpha = \frac{OO^{ \prime} }{ O^{ \prime}C } , OO^{ \prime} = \left ( \frac{m_{2} }{ m_{1} + m_{2} } - \frac{l}{2} \right )l, O^{ \prime}C = \sqrt{ R^{2} - \frac{l^{2} }{4} }$,
где $O$ - центр тяжести системы тел, $O^{ \prime}$ - геометрический центр стержня, $C$ — геометрический центр сферы.
2) Сила реакции опоры $\vec{N}_{A}$, действующая на точку А стержня, направлена по нормали к сферической поверхности, т. е. по радиусу; сила реакции $\vec{N}_{B}$, приложенная к точке В стержня, направлена перпендикулярно стержню. Угол ABO равен $\alpha$ ($O$ - центр сферы), угол АОС равен $2 \alpha$. Условия равновесия по горизонтали и вертикали:
$N_{A} \sin 2 \alpha + N_{B} \cos \alpha = Mg, N_{A} \cos 2 \alpha = N_{B} \sin \alpha$,
$N_{A} = Mg tg \alpha, N_{B} = Mg \frac{ \cos 2 \alpha}{ \cos \alpha}$.
1) Два шарика масс $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные невесомым жестким стержнем длины $l$, покоятся в сферической полости радиуса $R$. Под каким углом $\alpha$ к горизонту расположится стержень? Трением пренебречь.
2) В гладкой закрепленной полусфере свободно лежит стержень массы $m$, так что его угол с горизонтом равен $\alpha$, a один конец выходит за край полусферы. Найти силы, с которыми действует стержень на полусферу в точках соприкосновения с ней.
Решение:
1) Из условия равновесия системы имеем
$m_{1}g \cos ( \beta - \alpha ) = m_{2}g \cos ( \beta + \alpha )$;
где угол $\beta$ определяется условием $\cos \beta = l/2R$; отсюда, используя известную из алгебры связь (если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c + d}{c - d}$ ), получаем
$\frac{m_{1} + m_{2} }{ m_{1} - m_{2} } = \frac{ \cos ( \beta - \alpha) + \cos ( \beta + \alpha) }{ \cos ( \beta - \alpha) - \cos ( \beta + \alpha ) } = \frac{ \cos \alpha \cos \beta}{ \sin \alpha \sin \beta } = \frac{l ctg \alpha}{ \sqrt{4R^{2} - l^{2} } }$.
Окончательно
$tg \alpha = \frac{m_{2} - m_{1} }{ m_{2} + m_{1} } \frac{l}{ \sqrt{4R^{2} - l^{2} } }$.
К этому же результату приводит условие, что при устойчивом равновесии центр тяжести занимает самое низкое положение:
$tg \alpha = \frac{OO^{ \prime} }{ O^{ \prime}C } , OO^{ \prime} = \left ( \frac{m_{2} }{ m_{1} + m_{2} } - \frac{l}{2} \right )l, O^{ \prime}C = \sqrt{ R^{2} - \frac{l^{2} }{4} }$,
где $O$ - центр тяжести системы тел, $O^{ \prime}$ - геометрический центр стержня, $C$ — геометрический центр сферы.
2) Сила реакции опоры $\vec{N}_{A}$, действующая на точку А стержня, направлена по нормали к сферической поверхности, т. е. по радиусу; сила реакции $\vec{N}_{B}$, приложенная к точке В стержня, направлена перпендикулярно стержню. Угол ABO равен $\alpha$ ($O$ - центр сферы), угол АОС равен $2 \alpha$. Условия равновесия по горизонтали и вертикали:
$N_{A} \sin 2 \alpha + N_{B} \cos \alpha = Mg, N_{A} \cos 2 \alpha = N_{B} \sin \alpha$,
$N_{A} = Mg tg \alpha, N_{B} = Mg \frac{ \cos 2 \alpha}{ \cos \alpha}$.
