Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6307
2018-02-11 
Гладкий клин массы $M$ может скользить по горизонтальной плоскости. На его грань, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, положен гладкий брусок массы $m$. Найти ускорение клина. Трением пренебречь.
Решение:
Введем горизонтальную и вертикальную составляющие ускорения бруска $a_{гор}$ и $a_{верт}$. На брусок действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила нормального давления $\vec{N}$ со стороны клина. На клин в направлении горизонтали действует лишь горизонтальная составляющая силы нормального давления со стороны бруска $- \vec{N}$. Учитывая это, можно записать второй закон Ньютона для горизонтального движения клина н бруска и вертикального движения бруска:
$Ma = N \sin \alpha, ma_{гор} = N \sin \alpha, ma_{верт} = mg - N \cos \alpha$.
Проекции ускорений бруска и клина здесь записаны в системе отсчета, связанной с горизонтальной плоскостью; при этом направление ускорения бруска не совпадает с направлением вдоль наклонной плоскости, так как сама плоскость движется с ускорением $a$. Если перейти в систему отсчета, связанную с клином, то здесь ускорение клина равно нулю, а ускорение бруска будет направлено под углом $\alpha$ к горизонту и будет равно по модулю $a_{гор} + a$. На вертикальную проекцию $a_{верт}$ переход в новую систему отсчета не окажет влияния. Таким образом, мы можем добавить еще одно необходимое уравнение:
$\frac{a_{верт}}{a_{гор} + a} = tg \alpha$.
Решая совместно систему четырех уравнений, получаем
$a= g \frac{m \sin 2 \alpha}{2(M + m \sin^{2} \alpha) }$
Можно предложить и иное решение задачи, воспользовавшись законами сохранения энергии и импульса. Введя горизонтальную $v_{гор}$ и вертикальную $v_{верт}$ скорости бруска, высоту $h$, с которой он спустился без начальной скорости, и, наконец, скорость клина $u$, из законов сохранения импульса и энергии имеем
$mv_{гор} + Mu = 0, \frac{m (v_{гор}^{2} + v_{верт}^{2} ) }{2} + \frac{Mu^{2} }{2} = mgh$.
Переходя в систему отсчета, связанную с клином (в ней он покоится), с учетом движения бруска в этой системе под углом $\alpha$ к горизонту имеем
$\frac{v_{верт}}{ v_{гор} + u } = tg \alpha$.
Если учесть связь между ускорением, путем и скоростью при равноускоренном движении $v_{верт} = \sqrt{2 a_{верт}р}$ и соотношение между $a_{верт}$ и $a$, то приходим, используя всю систему уравнений, к ранее полученному ответу:
$a = g \frac{m \sin 2 \alpha}{ 2 (M + m \sin^{2} \alpha ) }$.
Гладкий клин массы $M$ может скользить по горизонтальной плоскости. На его грань, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, положен гладкий брусок массы $m$. Найти ускорение клина. Трением пренебречь.
Решение:
Введем горизонтальную и вертикальную составляющие ускорения бруска $a_{гор}$ и $a_{верт}$. На брусок действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила нормального давления $\vec{N}$ со стороны клина. На клин в направлении горизонтали действует лишь горизонтальная составляющая силы нормального давления со стороны бруска $- \vec{N}$. Учитывая это, можно записать второй закон Ньютона для горизонтального движения клина н бруска и вертикального движения бруска:
$Ma = N \sin \alpha, ma_{гор} = N \sin \alpha, ma_{верт} = mg - N \cos \alpha$.
Проекции ускорений бруска и клина здесь записаны в системе отсчета, связанной с горизонтальной плоскостью; при этом направление ускорения бруска не совпадает с направлением вдоль наклонной плоскости, так как сама плоскость движется с ускорением $a$. Если перейти в систему отсчета, связанную с клином, то здесь ускорение клина равно нулю, а ускорение бруска будет направлено под углом $\alpha$ к горизонту и будет равно по модулю $a_{гор} + a$. На вертикальную проекцию $a_{верт}$ переход в новую систему отсчета не окажет влияния. Таким образом, мы можем добавить еще одно необходимое уравнение:
$\frac{a_{верт}}{a_{гор} + a} = tg \alpha$.
Решая совместно систему четырех уравнений, получаем
$a= g \frac{m \sin 2 \alpha}{2(M + m \sin^{2} \alpha) }$
Можно предложить и иное решение задачи, воспользовавшись законами сохранения энергии и импульса. Введя горизонтальную $v_{гор}$ и вертикальную $v_{верт}$ скорости бруска, высоту $h$, с которой он спустился без начальной скорости, и, наконец, скорость клина $u$, из законов сохранения импульса и энергии имеем
$mv_{гор} + Mu = 0, \frac{m (v_{гор}^{2} + v_{верт}^{2} ) }{2} + \frac{Mu^{2} }{2} = mgh$.
Переходя в систему отсчета, связанную с клином (в ней он покоится), с учетом движения бруска в этой системе под углом $\alpha$ к горизонту имеем
$\frac{v_{верт}}{ v_{гор} + u } = tg \alpha$.
Если учесть связь между ускорением, путем и скоростью при равноускоренном движении $v_{верт} = \sqrt{2 a_{верт}р}$ и соотношение между $a_{верт}$ и $a$, то приходим, используя всю систему уравнений, к ранее полученному ответу:
$a = g \frac{m \sin 2 \alpha}{ 2 (M + m \sin^{2} \alpha ) }$.
