Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6286
2018-02-10 
На упругую стальную пластинку, закрепленную одним концом в горизонтальном положении, насыпали песчинки. После того, как свободный конец пластинки оттягивают вниз и отпускают, она совершает гармонические колебания с частотой $\omega$. Какова амплитуда $A$ колебаний пластинки в том месте, где песчинки подскакивают на высоту $h$ по отношению к равновесному положению пластинки?
Решение:
Отклонение пластинки от положения равновесия равно $x = A \cos \omega t$, ее скорость $v = A \omega \sin \omega t$, ускорение $a = - A \omega^{2} \cos \omega t$.
Уравнение движения песчинки $N - mg = ma$, где $N$ - сила реакции со стороны пластинки, $m$ - масса песчинки. В момент отрыва $N = 0$, тогда $a = - g; - A \omega^{2} \cos \omega t = - g; \cos \omega t_{0} = \frac{g}{A \omega^{2} }, t_{0}$ - момент времени, когда песчинка оторвалась от пластинки.
Скорость пластинки и ее координата в момент $t_{0}$ равны $v_{0} = - A \omega \sin \omega t_{0}; x_{0} = A \cos \omega t_{0} = \frac{g}{ \omega^{2} }$.
Оторвавшись от пластинки со скоростью $v_{0}$, песчинка поднимается на высоту $\Delta x = \frac{v_{0}^{2} }{2g}. h = x_{0} + \Delta x = \frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{v^{2} }{2g} = \frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{ A^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t_{0} }{2g}$, откуда $A = \frac{g}{ \omega} \sqrt{ \frac{2h}{g} - \frac{1}{ \omega^{2} } }$. (Мы учли, что $\sin^{2} \omega t_{0} = 1 - \cos^{2} \omega t_{0} = 1 - \frac{g^{2} }{ A^{2} \omega^{4} }$.)
На упругую стальную пластинку, закрепленную одним концом в горизонтальном положении, насыпали песчинки. После того, как свободный конец пластинки оттягивают вниз и отпускают, она совершает гармонические колебания с частотой $\omega$. Какова амплитуда $A$ колебаний пластинки в том месте, где песчинки подскакивают на высоту $h$ по отношению к равновесному положению пластинки?
Решение:
Отклонение пластинки от положения равновесия равно $x = A \cos \omega t$, ее скорость $v = A \omega \sin \omega t$, ускорение $a = - A \omega^{2} \cos \omega t$.
Уравнение движения песчинки $N - mg = ma$, где $N$ - сила реакции со стороны пластинки, $m$ - масса песчинки. В момент отрыва $N = 0$, тогда $a = - g; - A \omega^{2} \cos \omega t = - g; \cos \omega t_{0} = \frac{g}{A \omega^{2} }, t_{0}$ - момент времени, когда песчинка оторвалась от пластинки.
Скорость пластинки и ее координата в момент $t_{0}$ равны $v_{0} = - A \omega \sin \omega t_{0}; x_{0} = A \cos \omega t_{0} = \frac{g}{ \omega^{2} }$.
Оторвавшись от пластинки со скоростью $v_{0}$, песчинка поднимается на высоту $\Delta x = \frac{v_{0}^{2} }{2g}. h = x_{0} + \Delta x = \frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{v^{2} }{2g} = \frac{g}{ \omega^{2} } + \frac{ A^{2} \omega^{2} \sin^{2} \omega t_{0} }{2g}$, откуда $A = \frac{g}{ \omega} \sqrt{ \frac{2h}{g} - \frac{1}{ \omega^{2} } }$. (Мы учли, что $\sin^{2} \omega t_{0} = 1 - \cos^{2} \omega t_{0} = 1 - \frac{g^{2} }{ A^{2} \omega^{4} }$.)
