Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6285
2018-02-10 
К стенке, наклоненной под углом $\alpha$ к вертикали, подвешен маятник длиной $l$ (рис.). Маятник отклонили в плоскости, перпендикулярной к стенке, на небольшой угол $\beta ( \beta > \alpha )$ от вертикального положения и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удар шарика о стенку абсолютно упругий.
Решение:
Без удара о стенку колебания маятника — гармонические с периодом $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$ и угловой амплитудой $\beta$. Из-за абсолютно упругого удара о стенку который меняет только направление скорости, но не ее величину время отклонения маятника в левую сторону будет на время $\tau$ меньше. $\tau$ — это время, за которое маятник при свободных колебаниях отклонился бы от угла $\alpha$ до угла $\beta$ и обратно. То есть период колебании маятника будет не $T_{0}$, а $T = T_{0} - \tau$. Уравнение гармонических колебаний для углового перемещения $\phi = \beta \cos \omega t$, где $\omega = \frac{2 \pi}{T_{0} }$. При $t = 0, \phi = \beta$; в некоторый момент $t_{1} = \frac{ \tau}{2}$ будет равно $\alpha$, тогда $\alpha = \beta \cos \omega t$, откуда $t_{1} = \frac{1}{ \omega } arccos \frac{ \alpha }{ \beta}$.
Следовательно, $\tau = 2t_{1} = \frac{2}{ \omega} arccos \frac{ \alpha}{ \beta}$ и
$T = T_{0} - \tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } - 2 \sqrt{ \frac{l}{g}} arccos \frac{ \alpha}{ \beta} = 2 \sqrt{ \frac{l}{g}} \left ( \pi arccos \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$.
К стенке, наклоненной под углом $\alpha$ к вертикали, подвешен маятник длиной $l$ (рис.). Маятник отклонили в плоскости, перпендикулярной к стенке, на небольшой угол $\beta ( \beta > \alpha )$ от вертикального положения и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удар шарика о стенку абсолютно упругий.
Решение:
Без удара о стенку колебания маятника — гармонические с периодом $T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }$ и угловой амплитудой $\beta$. Из-за абсолютно упругого удара о стенку который меняет только направление скорости, но не ее величину время отклонения маятника в левую сторону будет на время $\tau$ меньше. $\tau$ — это время, за которое маятник при свободных колебаниях отклонился бы от угла $\alpha$ до угла $\beta$ и обратно. То есть период колебании маятника будет не $T_{0}$, а $T = T_{0} - \tau$. Уравнение гармонических колебаний для углового перемещения $\phi = \beta \cos \omega t$, где $\omega = \frac{2 \pi}{T_{0} }$. При $t = 0, \phi = \beta$; в некоторый момент $t_{1} = \frac{ \tau}{2}$ будет равно $\alpha$, тогда $\alpha = \beta \cos \omega t$, откуда $t_{1} = \frac{1}{ \omega } arccos \frac{ \alpha }{ \beta}$.
Следовательно, $\tau = 2t_{1} = \frac{2}{ \omega} arccos \frac{ \alpha}{ \beta}$ и
$T = T_{0} - \tau = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } - 2 \sqrt{ \frac{l}{g}} arccos \frac{ \alpha}{ \beta} = 2 \sqrt{ \frac{l}{g}} \left ( \pi arccos \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$.
