Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6274
2018-02-09 
К источнику с напряжением $U = 10 В$ подключили последовательно соединенные катушку индуктивностью $L_{0} = 0,1 Гн$ и резистор сопротивлением $R = 10 Ом$. Через некоторое время ток в цепи установился. После этого начинают вдвигать и выдвигать сердечник катушки таким образом, чтобы индуктивность изменялась по закону $L = L_{0} (1 + 0,1 \sin \omega t)$. При этом в цепи появляется переменная составляющая тока. 1) Найдите амплитуду этой составляющей на частоте $\omega = 1 рад/с$. 2) Какой станет амплитуда, если вдвигать и выдвигать источник в 10000 раз чаше?
Решение:
Для цепи с катушкой индуктивности $L$ и резистором $R$ время установления тока (время релаксации) $\tau = L/R$. В данной задаче это среднее время $\tau = L_{0}/R = 10^{-2} с$.
1) Период изменения индуктивности $T_{1} = \frac{2 \pi}{ \omega} = 6,28 с$. Очевидно, что $T_{1} \gg \tau$, т. е. изменение индуктивности происходит медленно и ток в цепи успевает установиться при каждом значении индуктивности (процесс квазистатический). Тогда приближенно можно считать, что ток в цепи остается почти постоянным и равным $U/R$. Используя закон Ома, запишем $I_{1} \frac{dL}{dt} + I_{1}R = U$. Учитывая, что $\frac{dL}{dt} = 0,1 \omega L_{0}$, получим $I_{1} = \frac{U}{R [1 + (0,1 \omega L_{0} /R ) \cos \omega t ] } = \frac{U}{R} \left ( 1 - \frac{0,1 \omega L_{0} }{R} \cos \omega t \right )$. Амплитуда переменной составляющей тока равна $I_{m_{1}} = 0,1 \frac{ \omega L_{0}U }{R^{2} } = 10^{-3} А$.
2) Период изменения индуктивности $T_{2} = \frac{2 \pi}{10^{4} \omega } = 6,28 \cdot 10^{-4} с \ll \tau$. Изменение индуктивности происходит настолько быстро, что в первом приближении магнитный поток, пронизывающий катушку, можно считать постоянным $\Phi = LI_{2} = LI_{0} = L_{0}U/R = const$. Следовательно, $I_{2} = \frac{L_{0}U }{LR} = \frac{L_{0}U }{ L_{0} (1 + 0,1 \sin 10^{4} \omega t )R } = \frac{U}{R} (1 - 0,1 \sin 10^{4} \omega t )$.
Амплитуда переменной составляющей тока равна
$I_{m_{2}} = 0,1 U/R = 0,1 А$.
В первом случае (низкие частоты) амплитуда переменной составляющей тока линейно растет с частотой изменения индуктивности; во втором случае (большие частоты) амплитуда от частоты не зависит.
К источнику с напряжением $U = 10 В$ подключили последовательно соединенные катушку индуктивностью $L_{0} = 0,1 Гн$ и резистор сопротивлением $R = 10 Ом$. Через некоторое время ток в цепи установился. После этого начинают вдвигать и выдвигать сердечник катушки таким образом, чтобы индуктивность изменялась по закону $L = L_{0} (1 + 0,1 \sin \omega t)$. При этом в цепи появляется переменная составляющая тока. 1) Найдите амплитуду этой составляющей на частоте $\omega = 1 рад/с$. 2) Какой станет амплитуда, если вдвигать и выдвигать источник в 10000 раз чаше?
Решение:
Для цепи с катушкой индуктивности $L$ и резистором $R$ время установления тока (время релаксации) $\tau = L/R$. В данной задаче это среднее время $\tau = L_{0}/R = 10^{-2} с$.
1) Период изменения индуктивности $T_{1} = \frac{2 \pi}{ \omega} = 6,28 с$. Очевидно, что $T_{1} \gg \tau$, т. е. изменение индуктивности происходит медленно и ток в цепи успевает установиться при каждом значении индуктивности (процесс квазистатический). Тогда приближенно можно считать, что ток в цепи остается почти постоянным и равным $U/R$. Используя закон Ома, запишем $I_{1} \frac{dL}{dt} + I_{1}R = U$. Учитывая, что $\frac{dL}{dt} = 0,1 \omega L_{0}$, получим $I_{1} = \frac{U}{R [1 + (0,1 \omega L_{0} /R ) \cos \omega t ] } = \frac{U}{R} \left ( 1 - \frac{0,1 \omega L_{0} }{R} \cos \omega t \right )$. Амплитуда переменной составляющей тока равна $I_{m_{1}} = 0,1 \frac{ \omega L_{0}U }{R^{2} } = 10^{-3} А$.
2) Период изменения индуктивности $T_{2} = \frac{2 \pi}{10^{4} \omega } = 6,28 \cdot 10^{-4} с \ll \tau$. Изменение индуктивности происходит настолько быстро, что в первом приближении магнитный поток, пронизывающий катушку, можно считать постоянным $\Phi = LI_{2} = LI_{0} = L_{0}U/R = const$. Следовательно, $I_{2} = \frac{L_{0}U }{LR} = \frac{L_{0}U }{ L_{0} (1 + 0,1 \sin 10^{4} \omega t )R } = \frac{U}{R} (1 - 0,1 \sin 10^{4} \omega t )$.
Амплитуда переменной составляющей тока равна
$I_{m_{2}} = 0,1 U/R = 0,1 А$.
В первом случае (низкие частоты) амплитуда переменной составляющей тока линейно растет с частотой изменения индуктивности; во втором случае (большие частоты) амплитуда от частоты не зависит.
