Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6264
2018-02-09 
Шар радиусом $R$ равномерно заряжен с объемной плотностью $\rho$. Определите зависимость потенциала поля $E(r)$ внутри и вне шара.
Решение:
Известна связь напряженности поля с потенциалом $E = - \frac{d \phi}{dr}$, тогда $d \phi = - E dr$. Если перейти к конечным знамени приращения потенциала» получим $\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1} = - \int_{1}^{2} Edr$, или $\phi_{1} - \phi_{2} = \int_{1}^{2} Edr$. Если учесть, что потенциал численно равен работе по переносу единичного положи тельного заряда из точки 1 в точку 2, и предположить, что точка 2 на бесконечности, а $\phi_{ \infty} = 0$, то потенциал некоторой точки 1 равен $\phi_{1} = \int_{1}^{ \infty} Edr$. Используем значение напряженности поля. При $r > R E(r) = \frac{ \rho R^{3}}{3 \epsilon_{0}r^{2} }$;
$\phi(r) = \int_{r}^{ \infty} \frac{ \rho R}{3 \epsilon_{0} r^{2} } dr = \left . \left ( - \frac{ \rho R^{3} }{ 2 \epsilon_{0}r } \right ) \right |_{r}^{ \infty} = \frac{ \rho R^{3} }{ 3 \epsilon_{0}r }; \phi(R) = \frac{ \rho R^{2}}{3 \epsilon_{0} }$.
Если $r < R$, то $\phi (r) = \int_{r}^{R} E_{1}(r)dr + \int_{R}^{ \infty}E_{2} (r)dr$.
$\phi(r) = \int_{r}^{R} \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} } dr + \int_{R}^{ \infty} \frac{ \rho R^{3} }{ 2 \epsilon_{0}r^{2} }dr = \left . \frac{ \rho r^{2} }{6 \epsilon_{0} } \right |_{r}^{R} + \phi (R) = \frac{ \rho}{6 \epsilon_{0} } (R^{2} - r^{2}) + \frac{ \rho R^{2} }{ 3 \epsilon_{0} } = \frac{ \rho}{ 6 \epsilon_{0} } (3R^{2} - r^{2} )$. В центре шара ($r = 0$) $\phi(0) = \frac{ \rho R^{2}}{2 \epsilon_{0} }$. В интервале $0 < r < R$ зависимость $\phi (r)$ — парабола, при $r > R \phi (r)$ — гипербола.
Шар радиусом $R$ равномерно заряжен с объемной плотностью $\rho$. Определите зависимость потенциала поля $E(r)$ внутри и вне шара.
Решение:
Известна связь напряженности поля с потенциалом $E = - \frac{d \phi}{dr}$, тогда $d \phi = - E dr$. Если перейти к конечным знамени приращения потенциала» получим $\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1} = - \int_{1}^{2} Edr$, или $\phi_{1} - \phi_{2} = \int_{1}^{2} Edr$. Если учесть, что потенциал численно равен работе по переносу единичного положи тельного заряда из точки 1 в точку 2, и предположить, что точка 2 на бесконечности, а $\phi_{ \infty} = 0$, то потенциал некоторой точки 1 равен $\phi_{1} = \int_{1}^{ \infty} Edr$. Используем значение напряженности поля. При $r > R E(r) = \frac{ \rho R^{3}}{3 \epsilon_{0}r^{2} }$;
$\phi(r) = \int_{r}^{ \infty} \frac{ \rho R}{3 \epsilon_{0} r^{2} } dr = \left . \left ( - \frac{ \rho R^{3} }{ 2 \epsilon_{0}r } \right ) \right |_{r}^{ \infty} = \frac{ \rho R^{3} }{ 3 \epsilon_{0}r }; \phi(R) = \frac{ \rho R^{2}}{3 \epsilon_{0} }$.
Если $r < R$, то $\phi (r) = \int_{r}^{R} E_{1}(r)dr + \int_{R}^{ \infty}E_{2} (r)dr$.
$\phi(r) = \int_{r}^{R} \frac{ \rho r}{3 \epsilon_{0} } dr + \int_{R}^{ \infty} \frac{ \rho R^{3} }{ 2 \epsilon_{0}r^{2} }dr = \left . \frac{ \rho r^{2} }{6 \epsilon_{0} } \right |_{r}^{R} + \phi (R) = \frac{ \rho}{6 \epsilon_{0} } (R^{2} - r^{2}) + \frac{ \rho R^{2} }{ 3 \epsilon_{0} } = \frac{ \rho}{ 6 \epsilon_{0} } (3R^{2} - r^{2} )$. В центре шара ($r = 0$) $\phi(0) = \frac{ \rho R^{2}}{2 \epsilon_{0} }$. В интервале $0 < r < R$ зависимость $\phi (r)$ — парабола, при $r > R \phi (r)$ — гипербола.
