Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6263
2018-02-09 
Положительный заряд $q$ равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиусом $R$. Найдите на оси кольца точки, в которых напряженность электрического ноля имеет наибольшее значение. Определите напряженность поля п этих точках. Как будет двигаться точечный заряд $- q_{0}$ массой $m$, если в начальный момент времени он покоился в некоторой точке на оси кольца на расстоянии $x \ll R$ от его центра?
Решение:
Заряженное кольцо можно рассматривать состоящим из отдельных заряженных элементов $\Delta q$, каждый из которых можно считать точечным зарядом, для которого $\Delta E = k \frac{ \Delta q}{r^{2} }$. Суммируя векторы напряженности поля в точке A получим $E = \sum \Delta E \cos \alpha = \sum k \frac{ \Delta q}{R^{2} + h^{2} } \cos \alpha$. (рис.). Сумма составляющих, перпендикулярных оси кольца, равна нулю. С учетом того, что $\cos \alpha = \frac{h}{r} = \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2} }}$, получим напряженность поля в точке A $E = k \frac{qh}{ (R^{2} + h^{2} )^{3/2} }$.
Для нахождения точки максимума напряженности поля приравняем первую производную от $E$ по $h$ к нулю $\frac{dE}{dh} = 0$.
$\frac{dE}{dh} = kq \frac{ \left ( (R^{2} + h^{2} )^{3/2} - \frac{3}{2} (R^{2} + h^{2} )^{1/2} 2h^{2} \right ) }{ (R^{2} + h^{2} )^{3} } = kq \frac{R^{2} - 2h^{2} }{ (R^{2} + h^{2} )^{5/2} } = 0$;
$R^{2} - 2h^{2} = 0l h = \pm \frac{R}{ \sqrt{2} }$.
В этих точках по обе стороны кольца наблюдается максимальное значение напряженности поля $E_{max} = kq \frac{R}{ \sqrt{2} \left ( R^{2} + \frac{R^{2} }{2} \right )^{3/2} } = \frac{q}{ 6 \sqrt{3} \pi \epsilon_{0} R^{2} }$.
Сила, действующая на заряд $-q_{0}$, равна $F = - q_{0}E = - k \frac{q_{0}qh }{ (R^{2} + h^{2} )^{3/2} }$ и направлена к центру кольца. Считая $h = x \ll R$, получим $F = - k \frac{qq_{0}x }{R^{3} }$. Согласно второму закону Ньютона $- \frac{qq_{0} }{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } x = ma_{x}$. Это уравнение гармонических колебании с периодом $T = 4 \pi \sqrt{ \frac{ \pi \epsilon_{0} mR^{3} }{qq_{0} } }
Положительный заряд $q$ равномерно распределен по тонкому проволочному кольцу радиусом $R$. Найдите на оси кольца точки, в которых напряженность электрического ноля имеет наибольшее значение. Определите напряженность поля п этих точках. Как будет двигаться точечный заряд $- q_{0}$ массой $m$, если в начальный момент времени он покоился в некоторой точке на оси кольца на расстоянии $x \ll R$ от его центра?
Решение:
Заряженное кольцо можно рассматривать состоящим из отдельных заряженных элементов $\Delta q$, каждый из которых можно считать точечным зарядом, для которого $\Delta E = k \frac{ \Delta q}{r^{2} }$. Суммируя векторы напряженности поля в точке A получим $E = \sum \Delta E \cos \alpha = \sum k \frac{ \Delta q}{R^{2} + h^{2} } \cos \alpha$. (рис.). Сумма составляющих, перпендикулярных оси кольца, равна нулю. С учетом того, что $\cos \alpha = \frac{h}{r} = \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2} }}$, получим напряженность поля в точке A $E = k \frac{qh}{ (R^{2} + h^{2} )^{3/2} }$.
Для нахождения точки максимума напряженности поля приравняем первую производную от $E$ по $h$ к нулю $\frac{dE}{dh} = 0$.
$\frac{dE}{dh} = kq \frac{ \left ( (R^{2} + h^{2} )^{3/2} - \frac{3}{2} (R^{2} + h^{2} )^{1/2} 2h^{2} \right ) }{ (R^{2} + h^{2} )^{3} } = kq \frac{R^{2} - 2h^{2} }{ (R^{2} + h^{2} )^{5/2} } = 0$;
$R^{2} - 2h^{2} = 0l h = \pm \frac{R}{ \sqrt{2} }$.
В этих точках по обе стороны кольца наблюдается максимальное значение напряженности поля $E_{max} = kq \frac{R}{ \sqrt{2} \left ( R^{2} + \frac{R^{2} }{2} \right )^{3/2} } = \frac{q}{ 6 \sqrt{3} \pi \epsilon_{0} R^{2} }$.
Сила, действующая на заряд $-q_{0}$, равна $F = - q_{0}E = - k \frac{q_{0}qh }{ (R^{2} + h^{2} )^{3/2} }$ и направлена к центру кольца. Считая $h = x \ll R$, получим $F = - k \frac{qq_{0}x }{R^{3} }$. Согласно второму закону Ньютона $- \frac{qq_{0} }{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } x = ma_{x}$. Это уравнение гармонических колебании с периодом $T = 4 \pi \sqrt{ \frac{ \pi \epsilon_{0} mR^{3} }{qq_{0} } }
