Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6246
2018-02-07 
Определите зависимость от сопротивления внешней цепи $R$ силы тока; напряжения на сопротивлении $R_{1}$ мощности $P_{1}$, выделяемой во внешней цепи; мощности $P_{2}$, выделяемой внутри источника тока; полной мощности $P$, развиваемой источником, а также КПД источника тока.
Постройте графики $I(R);U(R); P_{1}(R); P_{2}(R); P(R); \eta (R)$.
Решение:
Согласно закону Ома дли полной цепи $I = \frac{ \mathcal{E}}{R + r}$.
При $R = 0 I_{0} = \frac{ \mathcal{E}}{r}$. Ток изменяется обратно пропорционально величине внешнего сопротивлении (рис. а). Для напряжения на внешнем сопротивлении получаем: $U = IR = \frac{ \mathcal{E}R}{R + r}$.
При $R = 0, U = 0$, когда $R \rightarrow \infty, U \rightarrow \mathcal{E}$. Полная мощность, выделяющаяся в цепи, $P = P_{1} + P_{2}, I \mathcal{E} = I^{2}R + I^{2}r $.
Мощность, выделяемая во внешней цепи: $P_{1} = I^{2}R = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2} }$.
Определим, при каком внешнем сопротивлении выделяется наибольшая полезная мощность. В этом случае $\frac{dP_{1} }{dR} = 0$.
$\frac{dP_{1} }{dR} = \frac{d}{dR} \left ( \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{ (R + r)^{2} } \right ) = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{ (R + r)^{2} } - \frac{ 2 \mathcal{E}^{2}R (R + r) }{(R + r)^{4} } = \frac{ \mathcal{E}^{2} (R + r - 2R) }{(R + r)^{3} } = 0$.
Поскольку: $\mathcal{E} \neq 0, R = r$.
Исследуем знак производной для точек, соответствующих $R < r$ и $R > r$. В первом случае $\frac{dP_{1}}{dR} > 0$, во втором $\frac{dP_{1}}{dR} < 0$.
Это означает, что в точке $R = r$ полезная мощность максимальна. Значение $P_{1}$ в максимуме: $P_{1max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4r}$.
Мощность, выделяемая внутри источника тока: $P_{2} = I^{2}r = \frac{\mathcal{E}^{2}r }{(R + r)^{2}}$; при $R = 0, P_{2}(0) = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{r}$, если $R = r, P_{2} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{4r}$.
Полная мощность $P = I \mathcal{E} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R + r}$ при $R = 0$, совпадает со значением $P_{2}$ и равна $\frac{ \mathcal{E}^{2}}{r}$. Это случай короткого замыкания, когда вся мощность выделяется на внутреннем сопротивлении источника тока.
Если $R = r$ то $P = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{2r}$, вдвое больше, чем $P_{2}$, то есть половина полной мощности расходуется внутри самого источника тока, а половина выделяется на внешнем сопротивлении $R$.
С увеличением $R$ полная мощность $P$ и $P_{2}$ монотонно спадают (рис. в) при этом быстрее уменьшается мощность $P_{2}$, выделяемая внутри источника, что ведет к увеличению КПД с ростом $R$ (рис. г).
Из графика (рис. в) для $P_{1}$ видно, что одна и та же полезная мощность может быть получена при двух значениях $R$, одно из которых ($R_{1}$) меньше, а другое ($R_{2}$) больше $r$.
Коэффициент полезного действия $\eta = \frac{P_{1} }{P} = \frac{I^{2}R }{I \mathcal{E}} = \frac{R}{R + r}$.
Когда $R = r, \eta = 0,5$, мы получаем максимальную полезную мощность.
Определите зависимость от сопротивления внешней цепи $R$ силы тока; напряжения на сопротивлении $R_{1}$ мощности $P_{1}$, выделяемой во внешней цепи; мощности $P_{2}$, выделяемой внутри источника тока; полной мощности $P$, развиваемой источником, а также КПД источника тока.
Постройте графики $I(R);U(R); P_{1}(R); P_{2}(R); P(R); \eta (R)$.
Решение:
Согласно закону Ома дли полной цепи $I = \frac{ \mathcal{E}}{R + r}$.
При $R = 0 I_{0} = \frac{ \mathcal{E}}{r}$. Ток изменяется обратно пропорционально величине внешнего сопротивлении (рис. а). Для напряжения на внешнем сопротивлении получаем: $U = IR = \frac{ \mathcal{E}R}{R + r}$.
При $R = 0, U = 0$, когда $R \rightarrow \infty, U \rightarrow \mathcal{E}$. Полная мощность, выделяющаяся в цепи, $P = P_{1} + P_{2}, I \mathcal{E} = I^{2}R + I^{2}r $.
Мощность, выделяемая во внешней цепи: $P_{1} = I^{2}R = \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{(R + r)^{2} }$.
Определим, при каком внешнем сопротивлении выделяется наибольшая полезная мощность. В этом случае $\frac{dP_{1} }{dR} = 0$.
$\frac{dP_{1} }{dR} = \frac{d}{dR} \left ( \frac{ \mathcal{E}^{2}R }{ (R + r)^{2} } \right ) = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{ (R + r)^{2} } - \frac{ 2 \mathcal{E}^{2}R (R + r) }{(R + r)^{4} } = \frac{ \mathcal{E}^{2} (R + r - 2R) }{(R + r)^{3} } = 0$.
Поскольку: $\mathcal{E} \neq 0, R = r$.
Исследуем знак производной для точек, соответствующих $R < r$ и $R > r$. В первом случае $\frac{dP_{1}}{dR} > 0$, во втором $\frac{dP_{1}}{dR} < 0$.
Это означает, что в точке $R = r$ полезная мощность максимальна. Значение $P_{1}$ в максимуме: $P_{1max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4r}$.
Мощность, выделяемая внутри источника тока: $P_{2} = I^{2}r = \frac{\mathcal{E}^{2}r }{(R + r)^{2}}$; при $R = 0, P_{2}(0) = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{r}$, если $R = r, P_{2} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{4r}$.
Полная мощность $P = I \mathcal{E} = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R + r}$ при $R = 0$, совпадает со значением $P_{2}$ и равна $\frac{ \mathcal{E}^{2}}{r}$. Это случай короткого замыкания, когда вся мощность выделяется на внутреннем сопротивлении источника тока.
Если $R = r$ то $P = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{2r}$, вдвое больше, чем $P_{2}$, то есть половина полной мощности расходуется внутри самого источника тока, а половина выделяется на внешнем сопротивлении $R$.
С увеличением $R$ полная мощность $P$ и $P_{2}$ монотонно спадают (рис. в) при этом быстрее уменьшается мощность $P_{2}$, выделяемая внутри источника, что ведет к увеличению КПД с ростом $R$ (рис. г).
Из графика (рис. в) для $P_{1}$ видно, что одна и та же полезная мощность может быть получена при двух значениях $R$, одно из которых ($R_{1}$) меньше, а другое ($R_{2}$) больше $r$.
Коэффициент полезного действия $\eta = \frac{P_{1} }{P} = \frac{I^{2}R }{I \mathcal{E}} = \frac{R}{R + r}$.
Когда $R = r, \eta = 0,5$, мы получаем максимальную полезную мощность.
