Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6224
2018-02-03 
Внутри длинной трубы, наполненной воздухом, двигают с постоянной скоростью поршень, при этом по трубе распространяется упругая волна со скоростью $v = 320 м/с$. Считая перепад давлений на границе распространения волны равным 1000 Па, оцените перепад температур. Давление в невозмущенном воздухе 1 атм, температура 300 К.
Решение:
Согласно второму закону Ньютона $\Delta F \Delta t = \Delta mv; ( \Delta p S ) \Delta t = ( \Delta \rho Sv \Delta t)v$, где $\Delta p$ - перепад давлений, $\Delta \rho$ — разность плотностей, $S$ — площадь сечения трубы, $\Delta t$ — малый промежуток времени. Отсюда получим
$v = \sqrt{ \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho} }; \Delta \rho = \frac{ \Delta p }{v^{2} }$. (1)
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, найдем связь $\Delta \rho$ и $\Delta p$: $pV = \frac{m}{M}RT; \rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}; (p + \Delta p)M = ( \rho + \Delta \rho ) R(T + \Delta T)$;
$\Delta \rho = \frac{(p + \Delta p)M}{ R(T + \Delta T) } - \rho = \frac{(p + \Delta p)M}{R(T + \Delta T)} - \frac{pM}{RT} = \frac{M ( \Delta p T - p \Delta T)}{R(T + \Delta T)T }$. (2)
С учетом (1) из (2) получим $\Delta pRT(T + \Delta T) =Mv^{2} (T \Delta p - p \Delta T)$; разделим обе части уравнения на $pT$, тогда
$Mv^{2} \frac{ \Delta T}{T} = \frac{ \Delta p}{p} (Mv^{2} - RT - R \Delta T )= \frac{ \Delta p}{p} RT \left ( \frac{Mv^{2} }{RT} - \frac{ \Delta T}{T} - 1 \right )$.
Полагая $\Delta T \ll T$, окончательно получим
$\frac{ \Delta T}{T} = \frac{ \Delta p}{p} \left ( 1 - \frac{RT}{Mv^{2} } \right ) = 0,16 \frac{ \Delta p}{p} = 1,6 \cdot 10^{-3}; \Delta T = 0,5 К$.
Внутри длинной трубы, наполненной воздухом, двигают с постоянной скоростью поршень, при этом по трубе распространяется упругая волна со скоростью $v = 320 м/с$. Считая перепад давлений на границе распространения волны равным 1000 Па, оцените перепад температур. Давление в невозмущенном воздухе 1 атм, температура 300 К.
Решение:
Согласно второму закону Ньютона $\Delta F \Delta t = \Delta mv; ( \Delta p S ) \Delta t = ( \Delta \rho Sv \Delta t)v$, где $\Delta p$ - перепад давлений, $\Delta \rho$ — разность плотностей, $S$ — площадь сечения трубы, $\Delta t$ — малый промежуток времени. Отсюда получим
$v = \sqrt{ \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho} }; \Delta \rho = \frac{ \Delta p }{v^{2} }$. (1)
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, найдем связь $\Delta \rho$ и $\Delta p$: $pV = \frac{m}{M}RT; \rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}; (p + \Delta p)M = ( \rho + \Delta \rho ) R(T + \Delta T)$;
$\Delta \rho = \frac{(p + \Delta p)M}{ R(T + \Delta T) } - \rho = \frac{(p + \Delta p)M}{R(T + \Delta T)} - \frac{pM}{RT} = \frac{M ( \Delta p T - p \Delta T)}{R(T + \Delta T)T }$. (2)
С учетом (1) из (2) получим $\Delta pRT(T + \Delta T) =Mv^{2} (T \Delta p - p \Delta T)$; разделим обе части уравнения на $pT$, тогда
$Mv^{2} \frac{ \Delta T}{T} = \frac{ \Delta p}{p} (Mv^{2} - RT - R \Delta T )= \frac{ \Delta p}{p} RT \left ( \frac{Mv^{2} }{RT} - \frac{ \Delta T}{T} - 1 \right )$.
Полагая $\Delta T \ll T$, окончательно получим
$\frac{ \Delta T}{T} = \frac{ \Delta p}{p} \left ( 1 - \frac{RT}{Mv^{2} } \right ) = 0,16 \frac{ \Delta p}{p} = 1,6 \cdot 10^{-3}; \Delta T = 0,5 К$.
