Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6207
2018-02-02 
Шарик скользит без трения по внутренней поверхности конуса (рис.). Известны высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ в точках наименьшего и наибольшего подъема. Найдите скорости шарика $v_{1}$ и $v_{2}$ в этих точках.
Решение:
В точках максимального и минимального подъемов векторы скоростей, и следовательно и импульсов шариков горизонтальны. Воспользуемся законами сохранения момента импульса (относительно оси $OO^{ \prime}$) и энергии для точек 1 и 2.
$mv_{1}r_{1} = mv_{2}r_{2}$. (1)
Учтем, что $r_{1} = h_{1} tg \alpha; r_{2} = h_{2} tg \alpha$;
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} + mgh_{1} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mgh_{2}$. (2)
Из (1) получим $v_{2} = \frac{h_{1}v_{1}}{h_{2}}$ и подставим в (2):
$\frac{v_{1}^{2} }{2} + gh_{1} = \frac{h_{1}^{2}v_{1}^{2}}{2h_{2}^{2}} + gh_{2}; v_{1}^{2} \left ( \frac{h_{2}^{2} - h_{2}^{2} }{2h_{2}^{2} } \right ) = g (h_{2} - h_{1} )$
откуда $v_{1} = h_{2} \sqrt{ \frac{2g}{ h_{1} + h_{2} }}$; аналогично $v_{2} = h_{1} \sqrt{ \frac{2g}{ h_{1} + h_{2} }} $.
Шарик скользит без трения по внутренней поверхности конуса (рис.). Известны высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ в точках наименьшего и наибольшего подъема. Найдите скорости шарика $v_{1}$ и $v_{2}$ в этих точках.
Решение:
В точках максимального и минимального подъемов векторы скоростей, и следовательно и импульсов шариков горизонтальны. Воспользуемся законами сохранения момента импульса (относительно оси $OO^{ \prime}$) и энергии для точек 1 и 2.
$mv_{1}r_{1} = mv_{2}r_{2}$. (1)
Учтем, что $r_{1} = h_{1} tg \alpha; r_{2} = h_{2} tg \alpha$;
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} + mgh_{1} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mgh_{2}$. (2)
Из (1) получим $v_{2} = \frac{h_{1}v_{1}}{h_{2}}$ и подставим в (2):
$\frac{v_{1}^{2} }{2} + gh_{1} = \frac{h_{1}^{2}v_{1}^{2}}{2h_{2}^{2}} + gh_{2}; v_{1}^{2} \left ( \frac{h_{2}^{2} - h_{2}^{2} }{2h_{2}^{2} } \right ) = g (h_{2} - h_{1} )$
откуда $v_{1} = h_{2} \sqrt{ \frac{2g}{ h_{1} + h_{2} }}$; аналогично $v_{2} = h_{1} \sqrt{ \frac{2g}{ h_{1} + h_{2} }} $.
