Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6205
2018-02-02 
Два шарика одинаковой массы $m$, соединенные невесомой пружиной жесткостью $k$ и длиной $l$, лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий шарик той же массы движется со скоростью $v_{0}$ по линии, соединяющей центры первых двух шаров, и упруго соударяется с одним из них (рис.). Определите максимальное и минимальное расстояние между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении.
Решение:
При упругом соударении 3-го и 2-го шариков можно воспользоваться законом сохранения импульса, т. к. за время соударения, которое очень мало, смещением второго шарика можно пренебречь. Выполнится также закон сохранения энергии.
Тогда $mv_{0} = mu_{0} + mu_{2}$; (1)
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mu_{0}^{2}}{2} + \frac{mu_{2}^{2} }{2}$, (2)
здесь $u_{0}$ и $u_{2}$ соответственно скорости 3-го и 2-го шариков после соударения.
Из (1) и (2) следует $v_{0}^{2} - u_{0}^{2} = u_{2}^{2}$; (3)
$v_{0} - u_{0} = u_{2}$. (4)\
Разделив (3) и (4), получим $v_{0} + u_{0} = u_{2}, v_{0} - u_{0} = u_{2}$, т. е. $u_{0} = 0$, a $u_{2} = v_{0}$. Второй шарик приобретает, кинетическую энергию $\frac{mv_{0}^{2} }{2}$. В момент максимального сжатия пружины скорости шариков одинаковы. Действительно, так как первый шарик вначале покоился, а второй имел начальную скорость $v_{0}$, пружина начнет сжиматься. Скорость 1-го шарика начнет возрастать, а 2-го - уменьшается. Расстояние между шариками будут сокращаться до тех пор, пока их скорости не сравняются. Так как внешних сил нет, импульс системы сохраняется: $mv_{0} = 2mu$, (5)
$u$ - скорость шариков в момент максимального сближения. Шарики взаимодействуют друг с другом посредством внутренней силы упругости пружины. За счет работы этой силы изменяется кинетическая энергия шариков. Второй шарик сместится относительно первого на расстояние $x_{1}$, а сила упругости, противоположная направлению смещения, совершит работу $A_{упр} = - \frac{kx_{1}^{2} }{2} $. Следовательно, $2 \frac{mu^{2} }{2} - \frac{mv_{0}^{2} }{2} = A_{упр} = - \frac{kx_{1}^{2} }{2}$. (6)
Из (5) и (6) получаем $u = \frac{v_{0}}{2}, x_{1} = \sqrt{ \frac{mv_{0}^{2} }{2k} }$.
При растяжении пружины аналогично находим $x_{2} = \sqrt{ \frac{ mv_{0}^{2} }{2k} }$.
Минимальное расстояние между шариками $l_{min} = l - \sqrt{ \frac{ mv_{0}^{2} }{2k} }$; максимальное $l_{max} = l + \sqrt{ \frac{ mv_{0}^{2} }{2k} }$.
Два шарика одинаковой массы $m$, соединенные невесомой пружиной жесткостью $k$ и длиной $l$, лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий шарик той же массы движется со скоростью $v_{0}$ по линии, соединяющей центры первых двух шаров, и упруго соударяется с одним из них (рис.). Определите максимальное и минимальное расстояние между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении.
Решение:
При упругом соударении 3-го и 2-го шариков можно воспользоваться законом сохранения импульса, т. к. за время соударения, которое очень мало, смещением второго шарика можно пренебречь. Выполнится также закон сохранения энергии.
Тогда $mv_{0} = mu_{0} + mu_{2}$; (1)
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mu_{0}^{2}}{2} + \frac{mu_{2}^{2} }{2}$, (2)
здесь $u_{0}$ и $u_{2}$ соответственно скорости 3-го и 2-го шариков после соударения.
Из (1) и (2) следует $v_{0}^{2} - u_{0}^{2} = u_{2}^{2}$; (3)
$v_{0} - u_{0} = u_{2}$. (4)\
Разделив (3) и (4), получим $v_{0} + u_{0} = u_{2}, v_{0} - u_{0} = u_{2}$, т. е. $u_{0} = 0$, a $u_{2} = v_{0}$. Второй шарик приобретает, кинетическую энергию $\frac{mv_{0}^{2} }{2}$. В момент максимального сжатия пружины скорости шариков одинаковы. Действительно, так как первый шарик вначале покоился, а второй имел начальную скорость $v_{0}$, пружина начнет сжиматься. Скорость 1-го шарика начнет возрастать, а 2-го - уменьшается. Расстояние между шариками будут сокращаться до тех пор, пока их скорости не сравняются. Так как внешних сил нет, импульс системы сохраняется: $mv_{0} = 2mu$, (5)
$u$ - скорость шариков в момент максимального сближения. Шарики взаимодействуют друг с другом посредством внутренней силы упругости пружины. За счет работы этой силы изменяется кинетическая энергия шариков. Второй шарик сместится относительно первого на расстояние $x_{1}$, а сила упругости, противоположная направлению смещения, совершит работу $A_{упр} = - \frac{kx_{1}^{2} }{2} $. Следовательно, $2 \frac{mu^{2} }{2} - \frac{mv_{0}^{2} }{2} = A_{упр} = - \frac{kx_{1}^{2} }{2}$. (6)
Из (5) и (6) получаем $u = \frac{v_{0}}{2}, x_{1} = \sqrt{ \frac{mv_{0}^{2} }{2k} }$.
При растяжении пружины аналогично находим $x_{2} = \sqrt{ \frac{ mv_{0}^{2} }{2k} }$.
Минимальное расстояние между шариками $l_{min} = l - \sqrt{ \frac{ mv_{0}^{2} }{2k} }$; максимальное $l_{max} = l + \sqrt{ \frac{ mv_{0}^{2} }{2k} }$.
