Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6203
2018-02-02 
Центры шаров 1,2 и 3 расположены на одной прямой (pис.). Шар 1 с начальной скоростью $v_{1}$, направленной по линии центров, ударяет шар 2. Шар 2, получив после удара скорость $u_{2}$, ударяет шар 3. Оба удара абсолютно упруги. Какой должна быть масса $m_{2}$ шара 2, чтобы при известных массах $m_{1}$ и $m_{3}$ шаров 1 и 3 последний после удара получил наибольшую скорость?
Решение:
После последовательных ударов шары 2 и 3 получают скорости
$u_{2} = \frac{2m_{1}u_{1} }{m_{1} + m_{2} }$;
$u_{3} = \frac{2m_{2}u_{2} }{m_{2} + m_{3} } = \frac{4m_{1}m_{2}v_{1} }{( m_{1} + m_{2} )( m_{2} + m_{3} ) } $.
Максимальное значение $u_{3}$ найдем, приравняв нулю производную $\frac{du_{3} }{dm_{2} } = 0. \frac{du_{3}}{dm_{2}} = \frac{4m_{1}v_{1}(m_{1}m_{2} - m_{2})}{[(m_{1} + m_{2} )( m_{2} + m_{3} ) ]^{2}} = 0$. Отсюда $m_{2} = \sqrt{ m_{1}m_{3} }$.
Рассмотрим частные случаи.
1) $m_{1} \gg m_{3}$, тогда $u_{3} = \frac{4m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Если при этом можно считать, что $m_{1} \gg m_{2}$, то $u_{3} = 4v $.
Если бы шар 1 ударял 3 непосредственно (без промежуточного шара 2), то предельная скорость шара 3 при $m_{1} \gg m_{3}$ составляла бы $u_{3} = 2v_{1}$.
2) $m_{1} = m_{3}$. В этом случае $m_{2} = m_{1} = m_{3}$ и $u_{3} = v_{1}$.
3) $m_{1} \ll m_{3}$. Считая, что и $m_{2} \gg m_{1}$, получим $u_{1} = \frac{4v_{1}m_{1}}{m_{3}}$.
Здесь скорость шара 3 тоже примерно в два раза больше, чем без промежуточного шара 2.
Центры шаров 1,2 и 3 расположены на одной прямой (pис.). Шар 1 с начальной скоростью $v_{1}$, направленной по линии центров, ударяет шар 2. Шар 2, получив после удара скорость $u_{2}$, ударяет шар 3. Оба удара абсолютно упруги. Какой должна быть масса $m_{2}$ шара 2, чтобы при известных массах $m_{1}$ и $m_{3}$ шаров 1 и 3 последний после удара получил наибольшую скорость?
Решение:
После последовательных ударов шары 2 и 3 получают скорости
$u_{2} = \frac{2m_{1}u_{1} }{m_{1} + m_{2} }$;
$u_{3} = \frac{2m_{2}u_{2} }{m_{2} + m_{3} } = \frac{4m_{1}m_{2}v_{1} }{( m_{1} + m_{2} )( m_{2} + m_{3} ) } $.
Максимальное значение $u_{3}$ найдем, приравняв нулю производную $\frac{du_{3} }{dm_{2} } = 0. \frac{du_{3}}{dm_{2}} = \frac{4m_{1}v_{1}(m_{1}m_{2} - m_{2})}{[(m_{1} + m_{2} )( m_{2} + m_{3} ) ]^{2}} = 0$. Отсюда $m_{2} = \sqrt{ m_{1}m_{3} }$.
Рассмотрим частные случаи.
1) $m_{1} \gg m_{3}$, тогда $u_{3} = \frac{4m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$.
Если при этом можно считать, что $m_{1} \gg m_{2}$, то $u_{3} = 4v $.
Если бы шар 1 ударял 3 непосредственно (без промежуточного шара 2), то предельная скорость шара 3 при $m_{1} \gg m_{3}$ составляла бы $u_{3} = 2v_{1}$.
2) $m_{1} = m_{3}$. В этом случае $m_{2} = m_{1} = m_{3}$ и $u_{3} = v_{1}$.
3) $m_{1} \ll m_{3}$. Считая, что и $m_{2} \gg m_{1}$, получим $u_{1} = \frac{4v_{1}m_{1}}{m_{3}}$.
Здесь скорость шара 3 тоже примерно в два раза больше, чем без промежуточного шара 2.
