Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6201
2018-02-02 
Мяч падает на горизонтальную поверхность с высоты $h$ и после упругою удара поднимается до высоты $h_{1}$. На какую высоту поднимется мяч после n-го удара, если коэффициент восстановления $k$ (отношение скоростей после и до удара) считать постоянным?
Решение:
Высоты, на которые поднимется мяч после последовательных ударов: $h = \frac{v^{2}}{2g}; h_{1} = \frac{v_{1}^{2}}{2g}; h_{2} = \frac{v_{2}^{2}}{2g}; \cdots h_{n} = \frac{v_{n}^{2}}{2g}$, где $v_{1}$ — скорость мяча после первого удара; $v_{2}$ — после второго и т.д., $v_{n}$ — после n-го удара.
Учитывая значение коэффициента восстановления, напишем:
$k = \frac{v_{1} }{v}; k^{2} = \frac{v_{1}^{2}}{v^{2} }; k^{2} = \frac{v_{3}^{2} }{ v_{2}^{2} }; \cdots k^{2} = \frac{v_{n}^{2} }{ v_{n-1}^{2}}$.
Перемножив эти равенства (кроме первого), получаем
$k^{2n} = \frac{v_{n}^{2} }{v^{2} } = \frac{2gh_{n} }{ 2gh } = \frac{h_{n} }{h}$, откуда $h_{n} = hk^{2n}$. (1)
С другой стороны $k^{2} = \frac{v_{1}^{2}}{v^{2}} = \frac{2gh_{1}}{2gh} = \frac{h_{1}}{h}; k = \left ( \frac{h_{1}}{h} \right )^{1/2}$. (2)
Подставим (2) в (1) и получим $h_{n} = h \left ( \frac{h_{1} }{h} \right )^{n} = \frac{h_{1}^{n} }{h^{n-1}}$.
Мяч падает на горизонтальную поверхность с высоты $h$ и после упругою удара поднимается до высоты $h_{1}$. На какую высоту поднимется мяч после n-го удара, если коэффициент восстановления $k$ (отношение скоростей после и до удара) считать постоянным?
Решение:
Высоты, на которые поднимется мяч после последовательных ударов: $h = \frac{v^{2}}{2g}; h_{1} = \frac{v_{1}^{2}}{2g}; h_{2} = \frac{v_{2}^{2}}{2g}; \cdots h_{n} = \frac{v_{n}^{2}}{2g}$, где $v_{1}$ — скорость мяча после первого удара; $v_{2}$ — после второго и т.д., $v_{n}$ — после n-го удара.
Учитывая значение коэффициента восстановления, напишем:
$k = \frac{v_{1} }{v}; k^{2} = \frac{v_{1}^{2}}{v^{2} }; k^{2} = \frac{v_{3}^{2} }{ v_{2}^{2} }; \cdots k^{2} = \frac{v_{n}^{2} }{ v_{n-1}^{2}}$.
Перемножив эти равенства (кроме первого), получаем
$k^{2n} = \frac{v_{n}^{2} }{v^{2} } = \frac{2gh_{n} }{ 2gh } = \frac{h_{n} }{h}$, откуда $h_{n} = hk^{2n}$. (1)
С другой стороны $k^{2} = \frac{v_{1}^{2}}{v^{2}} = \frac{2gh_{1}}{2gh} = \frac{h_{1}}{h}; k = \left ( \frac{h_{1}}{h} \right )^{1/2}$. (2)
Подставим (2) в (1) и получим $h_{n} = h \left ( \frac{h_{1} }{h} \right )^{n} = \frac{h_{1}^{n} }{h^{n-1}}$.
