Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6196
2018-02-02 
Маленький шарик подвешен в точке A на нити, длина которой $l$. В точке О на расстоянии $l/2$ ниже точки A в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают (рис.). Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса?
Решение:
Вначале шарик описывает четверть окружности радиусом. равным длине нити $l$. Затем нить задевает гвоздь О, вбитый в стену, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего радиуса. Наконец в некоторой точке М сила натяжения нити обратится в нуль и шарик будет лететь только под действием силы тяжести. Уровень МВ принимаем за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда в точке М, согласно закону сохранения энергий:
$\frac{mv^{2}}{2} = mgH, v^{2} = 2gH$, где $H = AB = AO - BO = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \alpha$,
$v^{2} = 2g \frac{l}{2} (1 - \cos \alpha) = gl (1 - \cos \alpha)$. (1)
При движении тела по окружности на него действуют две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$, вызывающие ускорение, имеющее тангенциальную и нормальную составляющие.
В точке М $m \vec{g} + \vec{T} = m \vec{a}$. Спроецировав это уравнение на МО (направление нормального ускорения) и учитывая, что в точке М $T = 0$, получаем: $ma_{n} = mg \cos \alpha$.
С учетом (1): $ \frac{mv^{2} }{R} = \frac{ 2mg (l/2 - l/2 \cos \alpha ) }{l/2} = 2mg(1 - \cos \alpha) $;
т. e. $mg \cos \alpha = 2mg ( 1 - \cos \alpha ); \cos \alpha = 2/3$.
Из точки M шарик летит как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v = \sqrt{gl/3}$ (из (1) и (2)). Если поместить начало координат в точку М, то в этом случае $h_{1} = \frac{ v^{2} \sin^{2} \alpha }{2g} = \frac{5l}{54}$, учтем, что $\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha = \frac{5}{9}$.
Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки М на расстоянии $MB = \frac{l}{2} \sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{6} l$. Для прохождения по горизонтали такого пути шарику требуется время $t = \frac{ \frac{l}{2} \sin \alpha }{v \cos \alpha} = \frac{1}{4} \sqrt{ \frac{15l}{g} }$.
За это время шарик по оси у пройдет путь: $v \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2} = - \frac{5l}{96}$, т. e. пересечет вертикаль АО в точке, лежащей на $h_{2} = 5l/96$, ниже точки В.
Маленький шарик подвешен в точке A на нити, длина которой $l$. В точке О на расстоянии $l/2$ ниже точки A в стену вбит гвоздь. Шарик отводят так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают (рис.). Как дальше будет двигаться шарик? До какой наивысшей точки поднимется шарик? В какой точке шарик пересечет вертикаль, проходящую через точку подвеса?
Решение:
Вначале шарик описывает четверть окружности радиусом. равным длине нити $l$. Затем нить задевает гвоздь О, вбитый в стену, и шарик описывает дугу окружности вдвое меньшего радиуса. Наконец в некоторой точке М сила натяжения нити обратится в нуль и шарик будет лететь только под действием силы тяжести. Уровень МВ принимаем за нулевой уровень потенциальной энергии, тогда в точке М, согласно закону сохранения энергий:
$\frac{mv^{2}}{2} = mgH, v^{2} = 2gH$, где $H = AB = AO - BO = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \alpha$,
$v^{2} = 2g \frac{l}{2} (1 - \cos \alpha) = gl (1 - \cos \alpha)$. (1)
При движении тела по окружности на него действуют две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$, вызывающие ускорение, имеющее тангенциальную и нормальную составляющие.
В точке М $m \vec{g} + \vec{T} = m \vec{a}$. Спроецировав это уравнение на МО (направление нормального ускорения) и учитывая, что в точке М $T = 0$, получаем: $ma_{n} = mg \cos \alpha$.
С учетом (1): $ \frac{mv^{2} }{R} = \frac{ 2mg (l/2 - l/2 \cos \alpha ) }{l/2} = 2mg(1 - \cos \alpha) $;
т. e. $mg \cos \alpha = 2mg ( 1 - \cos \alpha ); \cos \alpha = 2/3$.
Из точки M шарик летит как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v = \sqrt{gl/3}$ (из (1) и (2)). Если поместить начало координат в точку М, то в этом случае $h_{1} = \frac{ v^{2} \sin^{2} \alpha }{2g} = \frac{5l}{54}$, учтем, что $\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha = \frac{5}{9}$.
Вертикаль, проходящая через точку подвеса, находится от точки М на расстоянии $MB = \frac{l}{2} \sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{6} l$. Для прохождения по горизонтали такого пути шарику требуется время $t = \frac{ \frac{l}{2} \sin \alpha }{v \cos \alpha} = \frac{1}{4} \sqrt{ \frac{15l}{g} }$.
За это время шарик по оси у пройдет путь: $v \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2} = - \frac{5l}{96}$, т. e. пересечет вертикаль АО в точке, лежащей на $h_{2} = 5l/96$, ниже точки В.
