Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 619
2014-06-01 
Теплоизолированный сосуд разделен на две части нетеплопроводящим поршнем, который может перемещаться в сосуде без трения. В левой части сосуда содержится 1 моль идеального одноатомного газа, в правой - вакуум. Поршень соединен с правой стенкой сосуда пружиной, длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда (рис.).
Определите теплоемкость $C$ системы. Теплоемкостью сосуда, поршня и пружины пренебречь.
Решение:
Пусть $T_{1}$ - начальная температура газа под поршнем, $T_{2}$ - температура газа после того, как системе сообщено количество теплоты $ \Delta Q$. Поскольку трение отсутствует и сосуд теплоизолирован, вся теплота $\Delta Q$ идет на изменение $\Delta W$ внутренней энергии системы, т. е.
$\Delta Q = \Delta W$.
Изменение внутренней энергии системы складывается из изменения внутренней энергии газа и изменения потенциальной энергии сжатой пружины (так как теплоемкостью сосуда, поршня и пружины пренебрегаем).
Внутренняя энергия 1 моля идеального одноатомного газа при нагревании от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ увеличивается на
$\Delta W_{1} = (3/2)R(T_{2}-T_{1})$. (1)
Потенциальная энергия сжатой пружины изменяется на величину
$\Delta W_{2} = \frac{k}{2}(x^{2}_{2}-x^{2}_{1})$,
где $k$ - жесткость пружины, а $x_{1}$ и $x_{2}$ - значения абсолютного смещения левого конца (деформации) пружины при температурах газа $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Найдем связь между параметрами 1аза под поршнем и деформацией пружины.
Из условия равновесия поршня следует, что
$p=F/S=kx/S, x = pS/k$, (3)
где $p$ - давление газа, $S$ - площадь поршня. Согласно закону Менделеева - Клапейрона, для 1 моля идеального газа $pV = RT$. При деформации $x$ пружины объем газа под поршнем равен $V = xS$ и $p = RT/(xS)$. Подставляя это выражение для $p$ в (3), находим
$x^{2} = RT/k$. (4)
Таким образом, изменение потенциальной энергии сжатой пружины при нагревании системы равно
$\Delta W_{2}=(R/2)(T_{2}-T_{1})$.
Полное изменение внутренней энергии системы при нагревании от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ равно
$\Delta W = \Delta W_{1} + \Delta W_{2} = 2R (T_{2}-T_{1})$,
и теплоемкость системы составит
$C = \Delta Q / \Delta T = \Delta U / (T_{2}-T_{1})=2R$.
Теплоизолированный сосуд разделен на две части нетеплопроводящим поршнем, который может перемещаться в сосуде без трения. В левой части сосуда содержится 1 моль идеального одноатомного газа, в правой - вакуум. Поршень соединен с правой стенкой сосуда пружиной, длина которой в свободном состоянии равна длине сосуда (рис.).
Определите теплоемкость $C$ системы. Теплоемкостью сосуда, поршня и пружины пренебречь.
Решение:
Пусть $T_{1}$ - начальная температура газа под поршнем, $T_{2}$ - температура газа после того, как системе сообщено количество теплоты $ \Delta Q$. Поскольку трение отсутствует и сосуд теплоизолирован, вся теплота $\Delta Q$ идет на изменение $\Delta W$ внутренней энергии системы, т. е.
$\Delta Q = \Delta W$.
Изменение внутренней энергии системы складывается из изменения внутренней энергии газа и изменения потенциальной энергии сжатой пружины (так как теплоемкостью сосуда, поршня и пружины пренебрегаем).
Внутренняя энергия 1 моля идеального одноатомного газа при нагревании от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ увеличивается на
$\Delta W_{1} = (3/2)R(T_{2}-T_{1})$. (1)
Потенциальная энергия сжатой пружины изменяется на величину
$\Delta W_{2} = \frac{k}{2}(x^{2}_{2}-x^{2}_{1})$,
где $k$ - жесткость пружины, а $x_{1}$ и $x_{2}$ - значения абсолютного смещения левого конца (деформации) пружины при температурах газа $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Найдем связь между параметрами 1аза под поршнем и деформацией пружины.
Из условия равновесия поршня следует, что
$p=F/S=kx/S, x = pS/k$, (3)
где $p$ - давление газа, $S$ - площадь поршня. Согласно закону Менделеева - Клапейрона, для 1 моля идеального газа $pV = RT$. При деформации $x$ пружины объем газа под поршнем равен $V = xS$ и $p = RT/(xS)$. Подставляя это выражение для $p$ в (3), находим
$x^{2} = RT/k$. (4)
Таким образом, изменение потенциальной энергии сжатой пружины при нагревании системы равно
$\Delta W_{2}=(R/2)(T_{2}-T_{1})$.
Полное изменение внутренней энергии системы при нагревании от температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ равно
$\Delta W = \Delta W_{1} + \Delta W_{2} = 2R (T_{2}-T_{1})$,
и теплоемкость системы составит
$C = \Delta Q / \Delta T = \Delta U / (T_{2}-T_{1})=2R$.
