Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6184
2018-02-02 
Из начальной школы вы, вероятно, помните такую задачу: "К бассейну проведены две трубы. Первая может заполнить бассейн за 4 часа, вторая - опорожнить за 12 часов. Как быстро заполниться бассейн, если открыть обе трубы?". Решение в учебнике угвержда что бассейн заполнится за 6 часов. Насколько это правильно точки зрения физики?
Решение:
Изменение уровня воды $h$ в бассейне описывает уравнением: $\frac{dh}{dt} = a - b \sqrt{h}$, где $a$ и $b$ — постоянные, характеризующие натекание и вытекание воды. Обозначим глубину бассейна $H$, а время его наполнения и опорожнения через $t_{1} = 4 ч$ и $t_{2} = 12 ч$. Тогда $a = \frac{H}{t_{1}}$, а $b$ можно определить из уравнения: $\frac{dh}{dt} = - b \sqrt{h}$. $\int_{H}^{0} = - b \int_{0}^{t_{2}} dt$, откуда $b = \frac{ 2 \sqrt{H} }{t_{2} }$. Обозначим время наполнения бассейна, когда обе трубы открыты, $t_{3}$, тогда $\int_{0}^{H} \frac{dh}{a - b \sqrt{h}} = \int_{0}^{ t_{3} } dt$, откуда
$t_{3} = \frac{2a}{b^{2} } \left ( ln \frac{a}{a - b \sqrt{H}} - \frac{b \sqrt{H} }{a} \right ) = \frac{ t_{2}^{2} }{2t_{1} } \left ( ln \frac{t_{2} }{ t_{2} - 2t_{1} } - \frac{ 2t_{1} }{t_{2} } \right ) = 7,8 ч$.
Из начальной школы вы, вероятно, помните такую задачу: "К бассейну проведены две трубы. Первая может заполнить бассейн за 4 часа, вторая - опорожнить за 12 часов. Как быстро заполниться бассейн, если открыть обе трубы?". Решение в учебнике угвержда что бассейн заполнится за 6 часов. Насколько это правильно точки зрения физики?
Решение:
Изменение уровня воды $h$ в бассейне описывает уравнением: $\frac{dh}{dt} = a - b \sqrt{h}$, где $a$ и $b$ — постоянные, характеризующие натекание и вытекание воды. Обозначим глубину бассейна $H$, а время его наполнения и опорожнения через $t_{1} = 4 ч$ и $t_{2} = 12 ч$. Тогда $a = \frac{H}{t_{1}}$, а $b$ можно определить из уравнения: $\frac{dh}{dt} = - b \sqrt{h}$. $\int_{H}^{0} = - b \int_{0}^{t_{2}} dt$, откуда $b = \frac{ 2 \sqrt{H} }{t_{2} }$. Обозначим время наполнения бассейна, когда обе трубы открыты, $t_{3}$, тогда $\int_{0}^{H} \frac{dh}{a - b \sqrt{h}} = \int_{0}^{ t_{3} } dt$, откуда
$t_{3} = \frac{2a}{b^{2} } \left ( ln \frac{a}{a - b \sqrt{H}} - \frac{b \sqrt{H} }{a} \right ) = \frac{ t_{2}^{2} }{2t_{1} } \left ( ln \frac{t_{2} }{ t_{2} - 2t_{1} } - \frac{ 2t_{1} }{t_{2} } \right ) = 7,8 ч$.
