Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 618
2014-06-01 
Горизонтальный цилиндрический сосуд длиной $2l$ разделен тонким нетеплопроводящим поршнем на две равные части, в каждой из которых находится по $n$ молей идеального одноатомного газа при температуре $T$. Поршень прикреплен к торцам сосуда недеформированными пружинами жесткости $k$ каждая (рис.). Газу в правой части сообщили количество теплоты $Q$, в результате чего поршень сместился влево на расстояние $x=l/2$.
Определите количество теплоты $Q^{\prime}$, отданное при температуре $T$ термостату, с которым газ в левой части все время находился в тепловом контакте.
Решение:
Рассмотрим промежуточное положение поршня, когда он сместился на величину $y$ от своего первоначального положения. Пусть при этом давление газа в правой части сосуда равно $p_{2}$, а в левой $p_{1} $. Поскольку поршень при этом находится в равновесии, то сумма сил, действующих на поршень, равна нулю:
$(p_{2}-p_{1})S – 2ky = 0$, (1)
где $S$ - площадь поршня.
При последующем небольшом перемещении поршня $\Delta y$ полная работа газа $\Delta A$ равна $\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2}$, где $\Delta A_{2}$ - работа газа правой части, $\Delta A_{1}$ - работа газа левой части, причем
$\Delta A_{1} + \Delta A_{2} = p_{2} \Delta y S – p_{1} \Delta y S = (p_{2}-p_{1}) \Delta y S= 2ky \Delta y$. (2)
Таким образом, к моменту смешения поршня на величину $x = l/2$ полная работа газа будет равна сумме потенциальных энергий, запасенных в пружинах:
$A=2 \frac{k}{2} \left ( \frac{l}{2} \right )^{2}$. (3)
Если к газу в правой части подвели количество теплоты $Q$, а газ в левой части передал количество теплоты $Q^{\prime}$ термостату, то полное сообщенное системе количество теплоты будет $Q – Q^{\prime}$ и можно написать (1-й закон термодинамики)
$ Q – Q^{\prime} = 2 \frac{k}{2} \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + \Delta U$, (4)
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа. Поскольку поршень нетеплопроводящнй, то температура газа слева не меняется и все изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ обусловлено нагревом газа справа на $\Delta T$, причем для $n$ молей идеального газа $\Delta U = n (3/2) R \Delta T$. Повышение температуры $\Delta T$ найдем из условия равновесия в конце процесса.
Давление газа $p$ в правой части сосуда в соответствии с законом Менделеева - Клапейрона равно $p = nR(T+ \Delta T)/[S(l + l/2)]$, с другой стороны, оно должно быть равно сумме давления газа слева $p^{\prime} = nRT/[S(l-l/2)]$ и давления, создаваемого пружинами, $p^{\prime \prime} = 2kl/(2S)$, т. е.
$2nR(T+ \Delta T) / (3Sl) = 2nRT/ (Sl) + kl/S$.
Отсюда находим, что $\Delta T = 2T + 3kl^{2}/(2nR)$, и окончательно с помощью (4) получаем
$Q^{\prime}=Q-3nRT – (5/2)kl^{2}$.
Горизонтальный цилиндрический сосуд длиной $2l$ разделен тонким нетеплопроводящим поршнем на две равные части, в каждой из которых находится по $n$ молей идеального одноатомного газа при температуре $T$. Поршень прикреплен к торцам сосуда недеформированными пружинами жесткости $k$ каждая (рис.). Газу в правой части сообщили количество теплоты $Q$, в результате чего поршень сместился влево на расстояние $x=l/2$.
Определите количество теплоты $Q^{\prime}$, отданное при температуре $T$ термостату, с которым газ в левой части все время находился в тепловом контакте.
Решение:
Рассмотрим промежуточное положение поршня, когда он сместился на величину $y$ от своего первоначального положения. Пусть при этом давление газа в правой части сосуда равно $p_{2}$, а в левой $p_{1} $. Поскольку поршень при этом находится в равновесии, то сумма сил, действующих на поршень, равна нулю:
$(p_{2}-p_{1})S – 2ky = 0$, (1)
где $S$ - площадь поршня.
При последующем небольшом перемещении поршня $\Delta y$ полная работа газа $\Delta A$ равна $\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2}$, где $\Delta A_{2}$ - работа газа правой части, $\Delta A_{1}$ - работа газа левой части, причем
$\Delta A_{1} + \Delta A_{2} = p_{2} \Delta y S – p_{1} \Delta y S = (p_{2}-p_{1}) \Delta y S= 2ky \Delta y$. (2)
Таким образом, к моменту смешения поршня на величину $x = l/2$ полная работа газа будет равна сумме потенциальных энергий, запасенных в пружинах:
$A=2 \frac{k}{2} \left ( \frac{l}{2} \right )^{2}$. (3)
Если к газу в правой части подвели количество теплоты $Q$, а газ в левой части передал количество теплоты $Q^{\prime}$ термостату, то полное сообщенное системе количество теплоты будет $Q – Q^{\prime}$ и можно написать (1-й закон термодинамики)
$ Q – Q^{\prime} = 2 \frac{k}{2} \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + \Delta U$, (4)
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа. Поскольку поршень нетеплопроводящнй, то температура газа слева не меняется и все изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ обусловлено нагревом газа справа на $\Delta T$, причем для $n$ молей идеального газа $\Delta U = n (3/2) R \Delta T$. Повышение температуры $\Delta T$ найдем из условия равновесия в конце процесса.
Давление газа $p$ в правой части сосуда в соответствии с законом Менделеева - Клапейрона равно $p = nR(T+ \Delta T)/[S(l + l/2)]$, с другой стороны, оно должно быть равно сумме давления газа слева $p^{\prime} = nRT/[S(l-l/2)]$ и давления, создаваемого пружинами, $p^{\prime \prime} = 2kl/(2S)$, т. е.
$2nR(T+ \Delta T) / (3Sl) = 2nRT/ (Sl) + kl/S$.
Отсюда находим, что $\Delta T = 2T + 3kl^{2}/(2nR)$, и окончательно с помощью (4) получаем
$Q^{\prime}=Q-3nRT – (5/2)kl^{2}$.
