Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6165
2018-01-21 
Определите положение центра масс однородного полушара радиусом $R$.
Решение:
Полушар симметричен относительно оси $x$ (рис.), поэтому его центр масс будет находиться на этой оси:
$r_{c} = x_{c} = \frac{ \sum_{i} \Delta m_{i} x_{i}}{m}$, где $\Delta m_{i}$ — элемент массы в виде диска радиусом $y$ и толщиной $\Delta x$. Так как полушар сплошной, то от суммировании необходимо перейти к интегрированию, тогда $x_{c} = \frac{ \int_{0}^{R} xdm}{m}$.
$dm = \rho dV = \rho \pi y^{2} dx; y^{2} = R^{2} - x^{2}; dm = \rho \pi (R^{2} - x^{2})dx$;
$\rho$ — плотность материала полушара, $dV$ - элемент объема (диск). Масса полушара $m = \frac{4}{6} \pi R^{3} \rho$, отсюда
$x_{c} = \frac{6}{4 \pi R^{3} \rho } \int_{0}^{R} \rho \pi (R^{2} - x^{2}) xdx = \frac{3}{8}R$.
Определите положение центра масс однородного полушара радиусом $R$.
Решение:
Полушар симметричен относительно оси $x$ (рис.), поэтому его центр масс будет находиться на этой оси:
$r_{c} = x_{c} = \frac{ \sum_{i} \Delta m_{i} x_{i}}{m}$, где $\Delta m_{i}$ — элемент массы в виде диска радиусом $y$ и толщиной $\Delta x$. Так как полушар сплошной, то от суммировании необходимо перейти к интегрированию, тогда $x_{c} = \frac{ \int_{0}^{R} xdm}{m}$.
$dm = \rho dV = \rho \pi y^{2} dx; y^{2} = R^{2} - x^{2}; dm = \rho \pi (R^{2} - x^{2})dx$;
$\rho$ — плотность материала полушара, $dV$ - элемент объема (диск). Масса полушара $m = \frac{4}{6} \pi R^{3} \rho$, отсюда
$x_{c} = \frac{6}{4 \pi R^{3} \rho } \int_{0}^{R} \rho \pi (R^{2} - x^{2}) xdx = \frac{3}{8}R$.
