Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6164
2018-01-21 
Из квадратной однородной пластинки с длиной ребра $a$ вырезали равнобедренный треугольник высотой $h$, с основанием $a$. Определите центр тяжести полученной фигуры 2 ($0 < h \leq a$) (рис.). При каком условии центр тяжести этой фигуры будет лежать вне ее?
Решение:
Алгебраическая сумма моментов сил тяжести фигур 1 и 2 относительно центра тяжести пластинки (точка О) равна нулю. Учтем, что центр тяжести треугольника лежит на расстоянии $\frac{h}{3}$ от основания, слева от центра пластины, т. к. $h \leq a$. Центр тяжести фигуры 2 находится на средней линии квадрата на расстоянии $x$ от его центра. Масса треугольника $m_{1} = \rho \frac{1}{2} ahd$, масса пластинки $m = \rho a^{2}d$, масса фигуры 2 $m_{2} = m - m_{1} = \rho ad \left ( a - \frac{1}{2} h \right )$, где $\rho$ — плотность материала пластинки, $d$ — ее толщина. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку О:
$m_{2}gx - m_{1}g \left ( \frac{a}{2} - \frac{h}{3} \right ) = 0, x = \frac{(3a - 2h)}{6} \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{(3a - 2h)h}{6(2a - h)}$.
Центр тяжести фигуры 2 лежит справа от центра пластины. Можно вырезать треугольник такой высоты $h_{1}$, чтобы центр тяжести фигуры 2 совпадал с вершиной треугольника, тогда $\frac{a}{2} + \frac{(3a - 2h_{1})h_{1}}{6(2a - h_{1})} = h_{1}$. Решение квадратного уравнении относительно $h_{1}$ дает $h_{1} = \frac{ \sqrt{3}}{2} ( \sqrt{3} - 1) a$.
Если высота вырезанного треугольника $h > h_{1}$, то центр тяжести фигуры 2 лежит вне ее.
Из квадратной однородной пластинки с длиной ребра $a$ вырезали равнобедренный треугольник высотой $h$, с основанием $a$. Определите центр тяжести полученной фигуры 2 ($0 < h \leq a$) (рис.). При каком условии центр тяжести этой фигуры будет лежать вне ее?
Решение:
Алгебраическая сумма моментов сил тяжести фигур 1 и 2 относительно центра тяжести пластинки (точка О) равна нулю. Учтем, что центр тяжести треугольника лежит на расстоянии $\frac{h}{3}$ от основания, слева от центра пластины, т. к. $h \leq a$. Центр тяжести фигуры 2 находится на средней линии квадрата на расстоянии $x$ от его центра. Масса треугольника $m_{1} = \rho \frac{1}{2} ahd$, масса пластинки $m = \rho a^{2}d$, масса фигуры 2 $m_{2} = m - m_{1} = \rho ad \left ( a - \frac{1}{2} h \right )$, где $\rho$ — плотность материала пластинки, $d$ — ее толщина. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку О:
$m_{2}gx - m_{1}g \left ( \frac{a}{2} - \frac{h}{3} \right ) = 0, x = \frac{(3a - 2h)}{6} \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{(3a - 2h)h}{6(2a - h)}$.
Центр тяжести фигуры 2 лежит справа от центра пластины. Можно вырезать треугольник такой высоты $h_{1}$, чтобы центр тяжести фигуры 2 совпадал с вершиной треугольника, тогда $\frac{a}{2} + \frac{(3a - 2h_{1})h_{1}}{6(2a - h_{1})} = h_{1}$. Решение квадратного уравнении относительно $h_{1}$ дает $h_{1} = \frac{ \sqrt{3}}{2} ( \sqrt{3} - 1) a$.
Если высота вырезанного треугольника $h > h_{1}$, то центр тяжести фигуры 2 лежит вне ее.
