ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-21   
Доска АВ, длина которой равна $2l$, а масса $m$ подвешена на двух веревках АС и ВС равной длины. Каждая из веревок составляет с доской угол $\beta$. В точке D на расстоянии $AD = S$ лежит груз, масса которого $M$. Определите угол $\alpha$ наклона доски к горизонту и положении равновесия и натяжения веревок $T_{1}$ и $T_{2}$.


Решение:



Все силы, действующие на систему, указаны на рис. Условие равновесия:

$m \vec{g} + M \vec{g} + \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} = 0$;
(x): $T_{1} \cos ( \alpha + \beta ) - T_{2} \cos ( \beta - \alpha) = 0$; (1)
(у): $T_{1} \sin ( \alpha + \beta ) + T_{2} \sin ( \beta - \alpha ) - mg - Mg = 0$. (2)

Моменты всех сил вычисляем относительно точки С: $mgl_{1} - Mgl_{2} = 0$, где $l_{1}$ - плечо силы $mg$ (рис.). Найдем его. Из $\Delta ACE: CE = AE tg \beta = l tg \beta$; из $\Delta CEM: l_{1} = CE \sin \alpha = l \sin \alpha tg \beta$.
$l_{2}$ — плечо силы $Mg$ — определяем так. Из $\Delta ACE AC = \frac{l}{ \cos \beta}$; из $\Delta ACK: AK = AC \cos ( \alpha + \beta) = \frac{l \cos ( \alpha + \beta)}{ \cos \beta}$; и, наконец,

$l_{2} = AK - S \cos \alpha = \frac{I \cos ( \alpha + \beta)}{ \cos \beta} - S \cos \alpha$.

Уравнение моментов относительно точки С:

$mgl \sin \alpha tg \beta - Mg \left [ \frac{l \cos ( \alpha + \beta)}{ \cos \beta} -S \cos \alpha \right ] = 0$; отсюда $tg \alpha = \frac{M(l - S)}{l(m + M)} ctg \beta$.

Из (1) и (2) получим $T_{1} = (m + M )g \frac{ \cos ( \alpha - \beta)}{ \sin 2 \beta}$;

$T_{2} = (m + M)g \frac{ \cos ( \alpha + \beta)}{ \sin 2 \beta}$.