ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-20   
Стержень длиной $l$ и массой $m$ одним концом упирается в вертикальную стену, а другой его конец удерживается с помощью нити, длина которой равна длине стержня (рис.). При каких углах $\alpha$ стержень будет находиться в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стеной $\mu = 0,3$?



Решение:



$\sum_{i} \vec{F}_{i} = 0; \sum_{i} \vec{M}_{i} = 0, \vec{F}_{тр} + m \vec{g} + \vec{N} + \vec{T} = 0$ (рис.).
(x) : $N - T \sin \alpha = 0$; (1)
(y) : $F_{тр} + T \cos \alpha - mg = 0$. (2)

Моменты сил рассматриваем относительно точки О.

Плечо OB силы натяжения нити Т найдем из $\Delta AOB: OB = AO \sin \alpha$. Из $\Delta ADO: AO = 2l \cos \alpha$. Тогда из (3) получим

$mg \frac{l}{2} \sin \alpha - T \cdot OB = 0$. (3)
$mg \frac{l}{2} \sin \alpha = T \cdot 2l \cos \alpha \cdot \sin \alpha; T = \frac{mg}{4 \cos \alpha}$.

Из (1) $N = T \sin \alpha = \frac{mg}{4} tg \alpha$.
Из (2) с учетом, что $F_{тр} = \mu Т = \frac{ \mu mg}{4} tg \alpha$, получим

$\frac{ \mu mg}{4} tg \alpha + \frac{mg}{4} - mg = 0; tg \alpha = \frac{3}{ \mu}$.

Стержень находится и равновесии, если $\alpha \geq arctg \frac{3}{ \mu} = 84^{ \circ}$.