Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 614
2014-06-01 
Спускаемый аппарат космического корабля приближается к поверхности планеты по вертикали с постоянной скоростью, передавая на борт корабля данные о наружном давлении. График зависимости давления (в условных единицах) от времени приведен па рис.. Опустившись на поверхность планеты, аппарат измерил и передал на борт данные о температуре: $T=700 К$ и ускорении свободного падения: $g=10 м/с^{2}$. Определите:
скорость $v$ спуска аппарата, если известно, что атмосфера планеты состоит из углекислого газа $CO_{2}$;
температуру $T_{h}$ на высоте $h =15 км$ над поверхностью планеты.
Решение:
Определим сначала скорость спускаемого аппарата. Для этого заметим, что изменение давления $\Delta p$ с изменением высоты $\Delta h$ связано соотношением
$\Delta p = \rho g \Delta h$, (1)
где $\rho$ - плотность газа. Из закона Менделеева - Клапейрона следует, что $p = (\rho/ \mu) RT$ (здесь $T$ - температура газа именно в той точке, вблизи которой мы интересуемся изменением давления). Учитывая, что $\Delta h = - v \Delta t$, где $v$ -скорость спуска аппарата, $\Delta t$ - время спуска, можно записать выражение (1) в виде
$\frac{\Delta p}{p} = g \frac{\mu v \Delta t}{RT}$. (2)
Зная отношение $\frac{\Delta p}{\Delta t}$, т. е. тангенс угла наклона касательной в конечной точке А графика, с помощью соотношения (2) найдем скорость $v$. (Отметим, что, поскольку в левой частя (2) стоит отношение $\Delta p / p$, нам безразлично, каков масштаб графика по оси ординат.) Находя из графика $(\Delta p/ \Delta t)p^{-1}$ и подставляя $\mu = 44 г/моль$ для $CO_{2}$, получим, что скорость спуска аппарата космического корабля равна
$v = \frac{RT}{g \mu} \frac{\Delta p}{p \Delta t} = \frac{8,3 Дж/(К \cdot моль) \cdot 7 \cdot 10^{2} К}{ 10 м/с^{2} \cdot \cdot 44 \cdot 10^{-3} кг/моль \cdot 1150 с} \approx 11,5$
Перейдем теперь к решению второй части задачи. Учитывая, что скорость аппарата равна $v = 11,5 м/с$, на высоте $h = 15 км$ над поверхностью планеты он был за 1300 с до посадки, т. е. этому соответствует время $t=2350 с$. С помощью соотношения $(\Delta p/ \Delta t)p^{-1}$ в этой точке графика из выражения (2) найдем искомую температуру $T_{h}$:
$T_{h}= \frac{g \mu v}{R} \left ( \frac{p \Delta t}{\Delta p} \right ) \approx 430 К$.
Спускаемый аппарат космического корабля приближается к поверхности планеты по вертикали с постоянной скоростью, передавая на борт корабля данные о наружном давлении. График зависимости давления (в условных единицах) от времени приведен па рис.. Опустившись на поверхность планеты, аппарат измерил и передал на борт данные о температуре: $T=700 К$ и ускорении свободного падения: $g=10 м/с^{2}$. Определите:
скорость $v$ спуска аппарата, если известно, что атмосфера планеты состоит из углекислого газа $CO_{2}$;
температуру $T_{h}$ на высоте $h =15 км$ над поверхностью планеты.
Решение:
Определим сначала скорость спускаемого аппарата. Для этого заметим, что изменение давления $\Delta p$ с изменением высоты $\Delta h$ связано соотношением
$\Delta p = \rho g \Delta h$, (1)
где $\rho$ - плотность газа. Из закона Менделеева - Клапейрона следует, что $p = (\rho/ \mu) RT$ (здесь $T$ - температура газа именно в той точке, вблизи которой мы интересуемся изменением давления). Учитывая, что $\Delta h = - v \Delta t$, где $v$ -скорость спуска аппарата, $\Delta t$ - время спуска, можно записать выражение (1) в виде
$\frac{\Delta p}{p} = g \frac{\mu v \Delta t}{RT}$. (2)
Зная отношение $\frac{\Delta p}{\Delta t}$, т. е. тангенс угла наклона касательной в конечной точке А графика, с помощью соотношения (2) найдем скорость $v$. (Отметим, что, поскольку в левой частя (2) стоит отношение $\Delta p / p$, нам безразлично, каков масштаб графика по оси ординат.) Находя из графика $(\Delta p/ \Delta t)p^{-1}$ и подставляя $\mu = 44 г/моль$ для $CO_{2}$, получим, что скорость спуска аппарата космического корабля равна
$v = \frac{RT}{g \mu} \frac{\Delta p}{p \Delta t} = \frac{8,3 Дж/(К \cdot моль) \cdot 7 \cdot 10^{2} К}{ 10 м/с^{2} \cdot \cdot 44 \cdot 10^{-3} кг/моль \cdot 1150 с} \approx 11,5$
Перейдем теперь к решению второй части задачи. Учитывая, что скорость аппарата равна $v = 11,5 м/с$, на высоте $h = 15 км$ над поверхностью планеты он был за 1300 с до посадки, т. е. этому соответствует время $t=2350 с$. С помощью соотношения $(\Delta p/ \Delta t)p^{-1}$ в этой точке графика из выражения (2) найдем искомую температуру $T_{h}$:
$T_{h}= \frac{g \mu v}{R} \left ( \frac{p \Delta t}{\Delta p} \right ) \approx 430 К$.
