Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6131
2018-01-20 
Упругий шарик падает с высоты $h$ на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол $\alpha$, и упруго отражается с той же скоростью. Найдите расстоянии $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ между точками ударов: первою и второго, второю и третьего и т. д. и наконец $n$-гo и $n + 1$-го (рис.). Кроме того, найдите $x_{1}^{ \prime}$ при условии, что наклонная плоскость движется вертикально вверх с постоянной скоростью $u$.
Решение:
Скорость шарика в момент первого удара $v_{0} = \sqrt{2gh}$. После абсолютно упругого удара скорость шарика та же, но с другим направлением, симметричным относительно оси у (рис.). Проекции начальной скорости $v_{0x} = v_{0} \sin \alpha; v_{0y} = v_{0} \cos \alpha$. Уравнения движения $v_{x} = v_{0x} + a_{x}t; v_{y} = v_{0y} + a_{y}t; x = v_{0x}t + \frac{a_{x}t^{2}}{2}; y = v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2}}{2}; a_{x} = g \sin \alpha; a_{y} = -g \cos \alpha$, тогда $v_{x} = v_{0} \sin \alpha + gt \sin \alpha; v_{y} = v_{0} \cos \alpha - gt \cos \alpha$.
Время достижения максимальной высоты $t_{1}$, найдем из условии $v_{y} = 0$, откуда $t_{1} = \frac{v_{0}}{g} = \sqrt{ \frac{2h}{g}}$. Время между первым и вторым ударами $t_{n} = 2t_{1} = 2 \frac{v_{0}}{g} = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}}$. Подставим эту величину в уравнение: $x_{1} = v_{0} \sin \alpha t_{n} + \frac{g \sin \alpha t_{n}^{2}}{2} = v_{0} \sin \alpha \frac{2v_{0}}{g} + \frac{g \sin \alpha}{2} \frac{4v_{0}^{2}}{g^{2}} = \frac{8v_{0}^{2}}{2g} \sin \alpha = 8h \sin \alpha$. Проекции скорости в момент второго удара
$v_{x} = v_{0} \sin \alpha + g \sin \alpha \frac{2v_{0}}{g} = 3v_{0} \sin \alpha$;
$v_{y} = v_{0} \cos \alpha - g \cos \alpha \frac{2v_{0}}{g} = \pm v_{0} \cos \alpha$;
Знак «-» соответствует моменту падения; знак «+» — моменту отражения, т. е. $v_{y}$ только меняет знак. В момент $n$-го удара проекции скорости после отражения равны
$v_{x} = (2n - 1)v_{0} \sin \alpha; v_{y} = v_{0} \cos \alpha$.
Таким образом, по оси х проекция скорости равномерно возрастает, а по оси у остается постоянной. Промежутки времени между ударами постоянны.
Расстояние $x_{2}$ между точками второго и третьего ударов
$x_{2} = 3v_{0} \sin \alpha \frac{2v_{0}}{g} + g \sin \alpha \left ( \frac{2v_{0}}{g} \right )^{2} = 2 \cdot 8 h \sin \alpha$.
Продолжая аналогично вычисления, найдем $x_{1} : x_{2} : x_{3} : \cdots : x_{n} = 1: 2: 3 : \cdots : n$. Расстояние между точками $n$ и $n + 1$ ударов равно $x_{n} = 8 nh \sin \alpha$.
Если наклонная плоскость движется вверх со скоростью $\vec{u}$, то относительная скорость плоскости и шарика $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{0} - \vec{u}$; т. е. $v_{отн} = v_{0} + u$, тогда $x_{1}^{ \prime} = \frac{4v_{отн}^{2}}{g} \sin \alpha = \frac{4 \sin \alpha}{g} (v_{0} + u)^{2}$.
Упругий шарик падает с высоты $h$ на наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол $\alpha$, и упруго отражается с той же скоростью. Найдите расстоянии $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ между точками ударов: первою и второго, второю и третьего и т. д. и наконец $n$-гo и $n + 1$-го (рис.). Кроме того, найдите $x_{1}^{ \prime}$ при условии, что наклонная плоскость движется вертикально вверх с постоянной скоростью $u$.
Решение:
Скорость шарика в момент первого удара $v_{0} = \sqrt{2gh}$. После абсолютно упругого удара скорость шарика та же, но с другим направлением, симметричным относительно оси у (рис.). Проекции начальной скорости $v_{0x} = v_{0} \sin \alpha; v_{0y} = v_{0} \cos \alpha$. Уравнения движения $v_{x} = v_{0x} + a_{x}t; v_{y} = v_{0y} + a_{y}t; x = v_{0x}t + \frac{a_{x}t^{2}}{2}; y = v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2}}{2}; a_{x} = g \sin \alpha; a_{y} = -g \cos \alpha$, тогда $v_{x} = v_{0} \sin \alpha + gt \sin \alpha; v_{y} = v_{0} \cos \alpha - gt \cos \alpha$.
Время достижения максимальной высоты $t_{1}$, найдем из условии $v_{y} = 0$, откуда $t_{1} = \frac{v_{0}}{g} = \sqrt{ \frac{2h}{g}}$. Время между первым и вторым ударами $t_{n} = 2t_{1} = 2 \frac{v_{0}}{g} = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g}}$. Подставим эту величину в уравнение: $x_{1} = v_{0} \sin \alpha t_{n} + \frac{g \sin \alpha t_{n}^{2}}{2} = v_{0} \sin \alpha \frac{2v_{0}}{g} + \frac{g \sin \alpha}{2} \frac{4v_{0}^{2}}{g^{2}} = \frac{8v_{0}^{2}}{2g} \sin \alpha = 8h \sin \alpha$. Проекции скорости в момент второго удара
$v_{x} = v_{0} \sin \alpha + g \sin \alpha \frac{2v_{0}}{g} = 3v_{0} \sin \alpha$;
$v_{y} = v_{0} \cos \alpha - g \cos \alpha \frac{2v_{0}}{g} = \pm v_{0} \cos \alpha$;
Знак «-» соответствует моменту падения; знак «+» — моменту отражения, т. е. $v_{y}$ только меняет знак. В момент $n$-го удара проекции скорости после отражения равны
$v_{x} = (2n - 1)v_{0} \sin \alpha; v_{y} = v_{0} \cos \alpha$.
Таким образом, по оси х проекция скорости равномерно возрастает, а по оси у остается постоянной. Промежутки времени между ударами постоянны.
Расстояние $x_{2}$ между точками второго и третьего ударов
$x_{2} = 3v_{0} \sin \alpha \frac{2v_{0}}{g} + g \sin \alpha \left ( \frac{2v_{0}}{g} \right )^{2} = 2 \cdot 8 h \sin \alpha$.
Продолжая аналогично вычисления, найдем $x_{1} : x_{2} : x_{3} : \cdots : x_{n} = 1: 2: 3 : \cdots : n$. Расстояние между точками $n$ и $n + 1$ ударов равно $x_{n} = 8 nh \sin \alpha$.
Если наклонная плоскость движется вверх со скоростью $\vec{u}$, то относительная скорость плоскости и шарика $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_{0} - \vec{u}$; т. е. $v_{отн} = v_{0} + u$, тогда $x_{1}^{ \prime} = \frac{4v_{отн}^{2}}{g} \sin \alpha = \frac{4 \sin \alpha}{g} (v_{0} + u)^{2}$.
