Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6127
2018-01-20 
Из пункта А на берегу канала с неподвижной водой надо попасть в пункт В на противоположном берегу (рис.). Человек плывет через канал на лодке со со скоростью $v_{1}$, а далее идет пешком со скоростью $v_{2}$. При каком соотношении углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ он быстрее всего попадет из А в В?
Решение:
Время движения лодки от А до С:
$t_{1} = \sqrt{x^{2} + a^{2}} / v_{1}$.
Время движения от С до В
$t_{2} = \sqrt{(d-x)^{2} + b^{2}}/v_{2}$.
Полное время движения
$t = t_{1} + t_{2} = \frac{ \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{v_{1}} + \frac{ \sqrt{(d - x)^{2} + b^{2}}}{v_{1}}$. Условие экстремума $\frac{dt}{dx} = 0$.
Тогда $\frac{dt}{dx} = \frac{x}{ v_{1} \sqrt{x^{2} + a^{2}}} - \frac{d-x}{ v_{2} \sqrt{(d -x)^{2} + b^{2}}} = 0$.
Так как $ \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \sin \alpha_{1}$ и $ \frac{d-x}{ \sqrt{(d - x)^{2} + b^{2}}} = \sin \alpha_{2}$, то $\frac{ \sin \alpha_{1}}{v_{1}} = \frac{ \sin \alpha_{2}}{v_{2}}$, следовательно $\frac{ \sin \alpha_{1}}{ \sin \alpha_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$.
Из пункта А на берегу канала с неподвижной водой надо попасть в пункт В на противоположном берегу (рис.). Человек плывет через канал на лодке со со скоростью $v_{1}$, а далее идет пешком со скоростью $v_{2}$. При каком соотношении углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ он быстрее всего попадет из А в В?
Решение:
Время движения лодки от А до С:
$t_{1} = \sqrt{x^{2} + a^{2}} / v_{1}$.
Время движения от С до В
$t_{2} = \sqrt{(d-x)^{2} + b^{2}}/v_{2}$.
Полное время движения
$t = t_{1} + t_{2} = \frac{ \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{v_{1}} + \frac{ \sqrt{(d - x)^{2} + b^{2}}}{v_{1}}$. Условие экстремума $\frac{dt}{dx} = 0$.
Тогда $\frac{dt}{dx} = \frac{x}{ v_{1} \sqrt{x^{2} + a^{2}}} - \frac{d-x}{ v_{2} \sqrt{(d -x)^{2} + b^{2}}} = 0$.
Так как $ \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \sin \alpha_{1}$ и $ \frac{d-x}{ \sqrt{(d - x)^{2} + b^{2}}} = \sin \alpha_{2}$, то $\frac{ \sin \alpha_{1}}{v_{1}} = \frac{ \sin \alpha_{2}}{v_{2}}$, следовательно $\frac{ \sin \alpha_{1}}{ \sin \alpha_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$.
