ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-18   
Материальная точка массой т находится на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ на расстоянии а от линзы ($a > F$). На точку начинает действовать сила $P$, изменяющаяся со временем по закону $P = P_{0} \sin \omega t$ и направленная перпендикулярно главной оптической оси. $P_{0}, \omega$ - известные положительные постоянные. Найти максимальное смещение изображения материальной точки от главной оптической оси линзы.


Решение:


Так как сила изменяется по гармоническому закону $P = P_{0} \sin \omega t$, то и ускорение материальной точки

$a = \frac{P}{m} = \frac{P_{0}}{m} \sin \omega t$

также будет изменяться по гармоническому закону. Известно, что в этом случае ускорение можно представить в виде

$a = - \omega^{2}x$.

где $x$ - смещение точки от положения равновесия. Следовательно,

$\frac{P_{0} }{m} \sin \omega t = - \omega^{2}x$, или $ x = - \frac{P_{0} }{m \omega^{2} } \sin \omega t$.

Очевидно, что максимальное смещение точки будет при $\sin \omega t = 1$:

$x_{max} = \frac{P_{0}}{m \omega^{2} }$.

Уравнение линзы

$\frac{1}{a} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F}$

позволяет найти расстояние от линзы до изображения:

$d = \frac{Fa}{a - F}$.

Увеличение линзы

$\Gamma = \frac{b}{a} = \frac{F}{a - F}$, или $\Gamma = \frac{ x_{max}^{ \prime} }{x_{max} }$.

где $x_{max}^{ \prime}$ - максимальное смещение изображения. Следовательно,

$x_{max}^{ \prime} = x_{max} \frac{F}{a - F} = \frac{P_{0} }{ m \omega^{2}} \frac{F}{a - F}$.