Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6124
2018-01-18 
Небольшой шарик, подвешенный на нити длиной $L$, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса. Под шариком на расстоянии $a$ от плоскости вращения закреплена собирающая линза с фокусным расстоянием $F (F < a)$ так, что ее главная оптическая ось совпадает с осью вращения шарика. Найти угловую скорость шарика, если его изображение вращается по окружности радиуса $R$.
Решение:
На шарик при движении по окружности радиусом $R_{0}$ действуют две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Уравнение движения шарика в проекции на оси ОХ и OY имеет вид (см. рис.):
OX: $m \omega^{2} R_{0} = T \sin \alpha$,
ОY: $0 = T \cos \alpha - mg$,
где $\omega$ - угловая скорость шарика. Решая эту систему уравнений,получим:
$\frac{m \omega^{2} R_{0} }{mg} = \frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha}$,
или
$\omega = \sqrt{ \frac{g tg \alpha}{R_{0} } } = \sqrt{ \frac{g}{ \sqrt{L^{2} - R_{0}^{2} } } }$
Уравнение линзы запишем в виде
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$,
где $b$ - расстояние от линза до плоскости вращения изображения. Следовательно,
$b = \frac{aF}{a - F}$.
С другой стороны увеличение лиизы равно
$\Gamma = \frac{b}{a}$, или $\Gamma = \frac{R}{R_{0} }$.
Откуда получаем:
$\frac{F}{a - F} = \frac{R}{R_{0} }, R_{0} = \frac{R(a - F)}{F}, \omega = \sqrt{g} \left ( L^{2} - \frac{R^{2} (a - F)^{2} }{F^{2} } \right )^{-1/4}$.
Небольшой шарик, подвешенный на нити длиной $L$, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса. Под шариком на расстоянии $a$ от плоскости вращения закреплена собирающая линза с фокусным расстоянием $F (F < a)$ так, что ее главная оптическая ось совпадает с осью вращения шарика. Найти угловую скорость шарика, если его изображение вращается по окружности радиуса $R$.
Решение:
На шарик при движении по окружности радиусом $R_{0}$ действуют две силы: сила тяжести $m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. Уравнение движения шарика в проекции на оси ОХ и OY имеет вид (см. рис.):
OX: $m \omega^{2} R_{0} = T \sin \alpha$,
ОY: $0 = T \cos \alpha - mg$,
где $\omega$ - угловая скорость шарика. Решая эту систему уравнений,получим:
$\frac{m \omega^{2} R_{0} }{mg} = \frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha}$,
или
$\omega = \sqrt{ \frac{g tg \alpha}{R_{0} } } = \sqrt{ \frac{g}{ \sqrt{L^{2} - R_{0}^{2} } } }$
Уравнение линзы запишем в виде
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$,
где $b$ - расстояние от линза до плоскости вращения изображения. Следовательно,
$b = \frac{aF}{a - F}$.
С другой стороны увеличение лиизы равно
$\Gamma = \frac{b}{a}$, или $\Gamma = \frac{R}{R_{0} }$.
Откуда получаем:
$\frac{F}{a - F} = \frac{R}{R_{0} }, R_{0} = \frac{R(a - F)}{F}, \omega = \sqrt{g} \left ( L^{2} - \frac{R^{2} (a - F)^{2} }{F^{2} } \right )^{-1/4}$.
