Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6117
2018-01-18 
Два небольших тела, связанные нитью длиной $L$, лежат на горизонтальной плоскости. Заряд каждого тела равен $q$, масса равна $m$. Нить пережигают и тела начинают скользить по плоскости. Какую максимальную скорость разовьют тела, если коэффициент их трения о плоскость равен $\mu$?
Решение:
На каждое из тел при движении будут действовать: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$, сила трення $\vec{F}_{тр}$ и сила Кулона $\vec{F}_{K}$, направленные так, как показано на рис.
Так как при движении тел сила Кулона будет меняться по величине, то решение задачи через за-„ ц г> коны Ньютона будетсложным. Поэтому воспользуемся законом сохранения энергии.
В начальный момент энергия системы равна ' ft энергии взаимодействия зарядов:
$W_{1} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L }$,
а в конечный:
$W_{2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} x } + 2 \frac{mv_{max}^{2} }{2}$,
где $x$ - расстояние между телами в момент времени, когда их скорости достигли максимальных значений.
Силы трения будут совершать отрицательную работу, так как $\vec{F}_{тр}$ и перемещение каждого in тел направлены в противоположные стороны:
$A_{тр} = - 2F_{тр}S$.
гле $F_{тр} = \mu N = \mu mg, S= 1/2 (x - L)$ - путь, пройденный каждым из тел к рассматриваемому моменту. Тогда
$W_{2} - W_{1} = A_{тр}$, или $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}x } + mv_{max}^{2} - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L } = - \mu mg (x - L)$.
Скорость каждого из тел будет максимальной в момент, когда ускорение станет равным нулю. т.е. при равенстве сил трения и электростатического взаимодействия:
$F_{тр} = F_{K}$, или $\mu mg = \frac{q}{ \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0} x^{2}}}$.
Откуда получаем:
$x = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} \mu mg } }$.
Подставляя найденное значение $x$ в закон сохранения энергии
$q \sqrt{ \frac{ \mu mg}{4 \pi \epsilon_{0} } } + mv_{max}^{2} - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L } = - q \sqrt{ \frac{ \mu mg}{4 \pi \epsilon_{0} } } + \mu mg L$
получим:
$v_{max} = \left ( \mu gL + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} mL } - 2q \sqrt{ \frac{ \mu g}{ 4 \pi \epsilon_{0} m } } \right )^{1/2}$,
или
$v_{max} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} mL}} - \sqrt{ \mu gL}$ при $\mu mg < \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L^{2} }$.
Два небольших тела, связанные нитью длиной $L$, лежат на горизонтальной плоскости. Заряд каждого тела равен $q$, масса равна $m$. Нить пережигают и тела начинают скользить по плоскости. Какую максимальную скорость разовьют тела, если коэффициент их трения о плоскость равен $\mu$?
Решение:
На каждое из тел при движении будут действовать: сила тяжести $m \vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$, сила трення $\vec{F}_{тр}$ и сила Кулона $\vec{F}_{K}$, направленные так, как показано на рис.
Так как при движении тел сила Кулона будет меняться по величине, то решение задачи через за-„ ц г> коны Ньютона будетсложным. Поэтому воспользуемся законом сохранения энергии.
В начальный момент энергия системы равна ' ft энергии взаимодействия зарядов:
$W_{1} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} L }$,
а в конечный:
$W_{2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} x } + 2 \frac{mv_{max}^{2} }{2}$,
где $x$ - расстояние между телами в момент времени, когда их скорости достигли максимальных значений.
Силы трения будут совершать отрицательную работу, так как $\vec{F}_{тр}$ и перемещение каждого in тел направлены в противоположные стороны:
$A_{тр} = - 2F_{тр}S$.
гле $F_{тр} = \mu N = \mu mg, S= 1/2 (x - L)$ - путь, пройденный каждым из тел к рассматриваемому моменту. Тогда
$W_{2} - W_{1} = A_{тр}$, или $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}x } + mv_{max}^{2} - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L } = - \mu mg (x - L)$.
Скорость каждого из тел будет максимальной в момент, когда ускорение станет равным нулю. т.е. при равенстве сил трения и электростатического взаимодействия:
$F_{тр} = F_{K}$, или $\mu mg = \frac{q}{ \sqrt{ 4 \pi \epsilon_{0} x^{2}}}$.
Откуда получаем:
$x = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} \mu mg } }$.
Подставляя найденное значение $x$ в закон сохранения энергии
$q \sqrt{ \frac{ \mu mg}{4 \pi \epsilon_{0} } } + mv_{max}^{2} - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L } = - q \sqrt{ \frac{ \mu mg}{4 \pi \epsilon_{0} } } + \mu mg L$
получим:
$v_{max} = \left ( \mu gL + \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} mL } - 2q \sqrt{ \frac{ \mu g}{ 4 \pi \epsilon_{0} m } } \right )^{1/2}$,
или
$v_{max} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} mL}} - \sqrt{ \mu gL}$ при $\mu mg < \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} L^{2} }$.
