Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6116
2018-01-18 
На тонкое диэлектрическое кольцо радиуса $R$ надета бусинка массой $m$, которой сообщен заряд $q$. Кольцо расположено в вертикальной плоскости и вся система находится в однородном вертикальном электрическом поле, напряженность которого равна $E$. Какой точечный заряд $Q$ надо расположить в центре кольца, чтобы бусинка, соскользнувшая с вершины кольца, не давила на кольцо в его нижней точке? Трения между кольцом и бусинкой нет. Расмотреть два случая: а) поле $E$ направлено вверх; б) поле $E$ направлено вниз.
Решение:
В зависимости от знаков зарядов $q$ и $Q$ возможны разные случаи движения бусинки и. следовательно, разные решения задачи.
Рассмотрим случай, когда заряд $q > 0$, а силовые линии напряженности $\vec{E}$ поля направлены вверх.
Так как бусинка движется по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, то для решения задачи достаточно записать уравнение движения бусинки в нижней точке кольца в проекции на нормаль и закон сохранения энергии.
В нижней точке на бусинку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$, сила Кулона взаимодействия между зарядами $\vec{F}_{к}$, сила $\vec{F} = q \vec{E}$, с которой на заряд $q$ действует внешнее электрическое поле, и сила реакции $\vec{N}$ (см. рис.).
Уравнение движения бусинки в проекции на нормаль к траектории в нижней точке имеет внд
$\frac{mv^{2}}{R} = F + N - mg \pm F_{K}$, (1)
где $v$ - скорость бусинки в рассматриваемой точке, знак «+» соответствуетслучаю $Q < 0$ (заряда притягиваются), а знак«-» - случаю $Q > 0$ (заряда отталкиваются). По условию задачи в нижней точке бусинка на кольцо не давит, т.е. $N = 0$. Поэтому, с учетом выражений для сил $\vec{F}$ и $\vec{F}_{K}$, уравнение (1) запишем в виде
$ \frac{mv^{2}}{2} = qE - mg \pm \frac{q|Q|}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } $. (2)
Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать в нижней точке кольца, то в исходном положении энергия бусинки равиа
$W_{1} = 2mgR + W_{вз1}$,
а в нижней точке кольца:
$W_{2} = 1/2 mv^{2} + W_{вз2}$,
где $W_{вз1}, W_{вз2}$ - энергия взаимодействия зарядов в начальном и конечном положениях соответственно. Очевидно, что $W_{вз1} = W_{вз2}$.
Так как электрическое поле потенциально, то работа силы $\vec{F} = q \vec{E}$ не зависит от формы траектории и может быть определена как
$A = - qE2R$,
где знак «-» связан с тем. что проекция силы $\vec{F}$ на направление перемещения в рассматриваемом случае отрицательна. Следовательно,
$W_{2} - W_{1} = A$, или $1/2 mv^{2} - 2mgR = - 2qER$. (3)
Решая уравнения (2)-(3) относительно $Q$, получим:
$Q = \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (qE - mg)}{q}$ при $qE \neq mg$,
где знак заряда $Q$ автоматически следует из разности $(qE - mg)$.
Если заряд $q < 0$, а силовые линии напряженности $\vec{E}$ поля направлены вверх, то в случае $Q < 0$ сила давления бусинки в нижней точке в нуль обратиться не может, так как все силы $m \vec{g}, \vec{F}_{K}$ и $\vec{F} = qE$ будут давать отрицательную проекцию на нормаль к траектории. Поэтому рассмотрим случай $Q > 0$.
Уравнение движения (2) примет вид
$\frac{mv^{2} }{R} = - |q|E - mg + \frac{|q|Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$.
Работа силы $\vec{F} = q \vec{E}$ в рассматриваемом случае положительна и может быть определена как
$A = |q|E2R$.
а закон сохранения энергии (3) примет вид
$1/2 mv^{2} - 2mgR = 2|q|ER$.
Следовательно,
$Q = \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (|q|E + mg) }{|q|}$. (4)
Если заряд $q > 0$, а силовые линии напряженности $\vec{E}$ поля направлены вниз, то, очевидно, что при $Q > 0$ задача не имеетрешения (силы $m \vec{g}, \vec{F}_{K}$ и $\vec{F} = q \vec{E}$ будут давать отрицательную проекцию на нормаль к траектории), а при $Q < 0$ ее решение совпадает с (4), но с учетом знаков зарядов:
$Q = - \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (qE + mg) }{q}$.
При $q < 0$ и силовых линиях напряженности $\vec{E}$ поля направленных вниз уравнение движения и закон сохранения энергии формально совпадают с (2)-(3), но в (2) знак «+» соответствует случаю $Q > 0$ (заряда притягиваются), а знак «-» - случаю $Q < 0$ (заряда отталкиваются). Поэтому здесь решение задачи имеет вид
$Q = \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (mg - |q|E)}{|q|}$ при $|q|E \neq mg$,
где знак заряда $Q$ автоматически следует из разности $(mg - |q|E).
На тонкое диэлектрическое кольцо радиуса $R$ надета бусинка массой $m$, которой сообщен заряд $q$. Кольцо расположено в вертикальной плоскости и вся система находится в однородном вертикальном электрическом поле, напряженность которого равна $E$. Какой точечный заряд $Q$ надо расположить в центре кольца, чтобы бусинка, соскользнувшая с вершины кольца, не давила на кольцо в его нижней точке? Трения между кольцом и бусинкой нет. Расмотреть два случая: а) поле $E$ направлено вверх; б) поле $E$ направлено вниз.
Решение:
В зависимости от знаков зарядов $q$ и $Q$ возможны разные случаи движения бусинки и. следовательно, разные решения задачи.
Рассмотрим случай, когда заряд $q > 0$, а силовые линии напряженности $\vec{E}$ поля направлены вверх.
Так как бусинка движется по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, то для решения задачи достаточно записать уравнение движения бусинки в нижней точке кольца в проекции на нормаль и закон сохранения энергии.
В нижней точке на бусинку действуют: сила тяжести $m \vec{g}$, сила Кулона взаимодействия между зарядами $\vec{F}_{к}$, сила $\vec{F} = q \vec{E}$, с которой на заряд $q$ действует внешнее электрическое поле, и сила реакции $\vec{N}$ (см. рис.).
Уравнение движения бусинки в проекции на нормаль к траектории в нижней точке имеет внд
$\frac{mv^{2}}{R} = F + N - mg \pm F_{K}$, (1)
где $v$ - скорость бусинки в рассматриваемой точке, знак «+» соответствуетслучаю $Q < 0$ (заряда притягиваются), а знак«-» - случаю $Q > 0$ (заряда отталкиваются). По условию задачи в нижней точке бусинка на кольцо не давит, т.е. $N = 0$. Поэтому, с учетом выражений для сил $\vec{F}$ и $\vec{F}_{K}$, уравнение (1) запишем в виде
$ \frac{mv^{2}}{2} = qE - mg \pm \frac{q|Q|}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} } $. (2)
Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать в нижней точке кольца, то в исходном положении энергия бусинки равиа
$W_{1} = 2mgR + W_{вз1}$,
а в нижней точке кольца:
$W_{2} = 1/2 mv^{2} + W_{вз2}$,
где $W_{вз1}, W_{вз2}$ - энергия взаимодействия зарядов в начальном и конечном положениях соответственно. Очевидно, что $W_{вз1} = W_{вз2}$.
Так как электрическое поле потенциально, то работа силы $\vec{F} = q \vec{E}$ не зависит от формы траектории и может быть определена как
$A = - qE2R$,
где знак «-» связан с тем. что проекция силы $\vec{F}$ на направление перемещения в рассматриваемом случае отрицательна. Следовательно,
$W_{2} - W_{1} = A$, или $1/2 mv^{2} - 2mgR = - 2qER$. (3)
Решая уравнения (2)-(3) относительно $Q$, получим:
$Q = \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (qE - mg)}{q}$ при $qE \neq mg$,
где знак заряда $Q$ автоматически следует из разности $(qE - mg)$.
Если заряд $q < 0$, а силовые линии напряженности $\vec{E}$ поля направлены вверх, то в случае $Q < 0$ сила давления бусинки в нижней точке в нуль обратиться не может, так как все силы $m \vec{g}, \vec{F}_{K}$ и $\vec{F} = qE$ будут давать отрицательную проекцию на нормаль к траектории. Поэтому рассмотрим случай $Q > 0$.
Уравнение движения (2) примет вид
$\frac{mv^{2} }{R} = - |q|E - mg + \frac{|q|Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$.
Работа силы $\vec{F} = q \vec{E}$ в рассматриваемом случае положительна и может быть определена как
$A = |q|E2R$.
а закон сохранения энергии (3) примет вид
$1/2 mv^{2} - 2mgR = 2|q|ER$.
Следовательно,
$Q = \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (|q|E + mg) }{|q|}$. (4)
Если заряд $q > 0$, а силовые линии напряженности $\vec{E}$ поля направлены вниз, то, очевидно, что при $Q > 0$ задача не имеетрешения (силы $m \vec{g}, \vec{F}_{K}$ и $\vec{F} = q \vec{E}$ будут давать отрицательную проекцию на нормаль к траектории), а при $Q < 0$ ее решение совпадает с (4), но с учетом знаков зарядов:
$Q = - \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (qE + mg) }{q}$.
При $q < 0$ и силовых линиях напряженности $\vec{E}$ поля направленных вниз уравнение движения и закон сохранения энергии формально совпадают с (2)-(3), но в (2) знак «+» соответствует случаю $Q > 0$ (заряда притягиваются), а знак «-» - случаю $Q < 0$ (заряда отталкиваются). Поэтому здесь решение задачи имеет вид
$Q = \frac{20 \pi \epsilon_{0} R^{2} (mg - |q|E)}{|q|}$ при $|q|E \neq mg$,
где знак заряда $Q$ автоматически следует из разности $(mg - |q|E).
