Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6115
2018-01-18 
Шарик массой $m$, имеющий заряд $q$, удерживают на одной вертикали под закрепленным зарядом $- q$ на расстоянии $L$ от него. Какую минимальную скорость, направленную вниз, надо сообщить шарику, чтобы он упал на Землю? Расстояние до Земли велико, движение происходит в поле тяготения Земли, ускорение свободного падения постоянно.
Решение:
На шарик при движении будут действовать: сила тяжести $m \vec{g}$, направленная вниз, и сила Кулона $\vec{F}_{к}$, направленная вверх. Пусть в исходном положении $F_{к} > mg$. Тогда в начале движения ускорение $\vec{a}$ шарика будетнаправлеино вверх. Однако, при движении сила Кулона будет уменьшаться (так как будет увеличиваться расстояние между зарядами), и, если шарик достигнет положения равновесия, то после этого вектор ускорения $\vec{a}$ изменит направление иа противоположное и шарик упадет иа поверхность земли. Следовательно, для падения на землю шарику достаточно достичь с нулевой скоростью точки, где его ускореиие равно нулю (положение равновесия). Равенство сил иулю дает
$mg = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} b^{2}}$, (1)
где $b$ - расстояние между зарядами в положении равновесия шарика (см. рис.).
Так как прн движении иа шарик действует переменная по величине сила $\vec{F}_{к}$, то решать задачу через законы Ньютона сложно. Проще воспользоваться законом сохранения энергии.
Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать в положении равновесия шарика, то энергия системы в начальный момент равна
$W_{1} = mg(b - L) + \frac{mv_{min}^{2}}{2} - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L}$, (2)
где последнее слагаемое - энергия взаимодействия между зарядами.
Энергия системы в положении равновесия шарика (с учетом, что здесь скорость шарика равна нулю):
$W_{2} = - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} b}$. (3)
Следовательно,
$mg(b - L) + \frac{mv_{min}^{2}}{2} - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} = - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}b}$.
С учетом (1) получим:
$\frac{mv_{min}^{2}}{2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} - \frac{q^{2} \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} mg}}{4 \pi \epsilon_{0}q} - \frac{mgq}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} mg}} + mgL$,
или
$v_{min} = \sqrt{ \frac{q^{2}}{2 \pi m \epsilon_{0}L} - 2q \sqrt{ \frac{g}{ \pi m \epsilon_{0}}} + 2gL } = \sqrt{2gL} \left ( \frac{q}{ 2L \sqrt{ \pi m \epsilon_{0}}} - 1 \right )$ при $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L^{2}} > mg$.
Если сила тяжести в исходном положении больше или равна силе Кулона, то шарик упадет на землю при $v_{min} = 0$.
При решении задачи мы полагали, что так как расстояние до земли велико, то положение равновесия находится над ее поверхностью.
Шарик массой $m$, имеющий заряд $q$, удерживают на одной вертикали под закрепленным зарядом $- q$ на расстоянии $L$ от него. Какую минимальную скорость, направленную вниз, надо сообщить шарику, чтобы он упал на Землю? Расстояние до Земли велико, движение происходит в поле тяготения Земли, ускорение свободного падения постоянно.
Решение:
На шарик при движении будут действовать: сила тяжести $m \vec{g}$, направленная вниз, и сила Кулона $\vec{F}_{к}$, направленная вверх. Пусть в исходном положении $F_{к} > mg$. Тогда в начале движения ускорение $\vec{a}$ шарика будетнаправлеино вверх. Однако, при движении сила Кулона будет уменьшаться (так как будет увеличиваться расстояние между зарядами), и, если шарик достигнет положения равновесия, то после этого вектор ускорения $\vec{a}$ изменит направление иа противоположное и шарик упадет иа поверхность земли. Следовательно, для падения на землю шарику достаточно достичь с нулевой скоростью точки, где его ускореиие равно нулю (положение равновесия). Равенство сил иулю дает
$mg = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} b^{2}}$, (1)
где $b$ - расстояние между зарядами в положении равновесия шарика (см. рис.).
Так как прн движении иа шарик действует переменная по величине сила $\vec{F}_{к}$, то решать задачу через законы Ньютона сложно. Проще воспользоваться законом сохранения энергии.
Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать в положении равновесия шарика, то энергия системы в начальный момент равна
$W_{1} = mg(b - L) + \frac{mv_{min}^{2}}{2} - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L}$, (2)
где последнее слагаемое - энергия взаимодействия между зарядами.
Энергия системы в положении равновесия шарика (с учетом, что здесь скорость шарика равна нулю):
$W_{2} = - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} b}$. (3)
Следовательно,
$mg(b - L) + \frac{mv_{min}^{2}}{2} - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} = - \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}b}$.
С учетом (1) получим:
$\frac{mv_{min}^{2}}{2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L} - \frac{q^{2} \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} mg}}{4 \pi \epsilon_{0}q} - \frac{mgq}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0} mg}} + mgL$,
или
$v_{min} = \sqrt{ \frac{q^{2}}{2 \pi m \epsilon_{0}L} - 2q \sqrt{ \frac{g}{ \pi m \epsilon_{0}}} + 2gL } = \sqrt{2gL} \left ( \frac{q}{ 2L \sqrt{ \pi m \epsilon_{0}}} - 1 \right )$ при $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L^{2}} > mg$.
Если сила тяжести в исходном положении больше или равна силе Кулона, то шарик упадет на землю при $v_{min} = 0$.
При решении задачи мы полагали, что так как расстояние до земли велико, то положение равновесия находится над ее поверхностью.
