ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-18   
Цилиндрический стакан массы $M$, высотой $h$ и площадью основания $S$ плавает в перевернутом виде в жидкости плотности $\rho$. При температуре $T_{1}$ глубина погружения стакана $h_{1}$. До какой величины нужно уменьшить температуру воздуха в стакане, чтобы глубина погружения оказалась равной $h_{2}$? Атмосферное давление постоянно.


Решение:



Так как до и после изменения температуры воздуха стакан находится в равновесии, то э го означает, что давления иа произвольном горизонтальном уровне, проходящем через жидкость, Одинаковы. В частности, например, на уровнях АВ (см. рис.):

$p_{0} + \rho gh_{1} = p_{1} + \rho gx_{1}, p_{0} + \rho gh_{2} = p_{2} + \rho g x_{2}$, (1)

где $p_{1}, p_{2}$ - давления воздуха в стакане при температуре $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Используя уравнения состояния газа при начальной $T_{1}$ и конечной $T_{2}$ температуре

$p_{1}(H - x_{1})S = \mu RT_{1}$,
$p_{2}(H - x_{2})S = \mu RT_{2}$,

получим:

$\frac{p_{2} (H - x_{2}) }{p_{1}(H - x_{1})} = \frac{T_{2} }{T_{1} }$. (2)

Из условия равновесия стакана

$Mg + p_{0}S = p_{1}S, Mg + p_{0}S = p_{2}S$ (3)

следует: '

$p_{1} = p_{2}$.

Теперь уравнение (2) можно переписать в виде:

$\frac{H - x_{2}}{H - x_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$,

или с учетом (1),(3):

$T_{2} = \frac{H - x_{2} }{H - x_{1} } T_{1} = \frac{ \rho gS(H - h_{2} ) + mg}{ \rho gS(H - h_{1} ) + mg} T_{1} $.