Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6108
2018-01-18 
Вертикальный цилиндрический сосуд сечением $S$ н высотой $H$ заполнен жидкостью плотностью $\rho$ и запаян при атмосферном давлении $p_{0}$. При этом высота столба воздуха в сосуде равна $h_{0}$. Какое количество жидкости вытечет из сосуда, если в его нижней части сделать небольшое отверстие? Температура не изменяется.
Решение:
Так как сосуд с жидкостью запаян при атмосферном давлении $p_{0}$, то если в его нижней части сделать отверстие, давление на уровне отверстия изнутри сосудабудет больше атмосферного и жидкость начнет вытекать. При этом воздух в сосуде будет расширяться и его давление уменьшаться. В некоторый момент времени давление воздуха уменьшится на столько, что жидкость перестанет вытекать. Тогда давление, действующее иа уровне отверстия (см. рис.), станет равным атмосферному:
$p + \rho g(H - h_{0} - \Delta h) = p_{0}$, (1)
где $\Delta h$ - высота слоя жидкости, которая вытечет из сосуда.
Используя уравнения состояния воздуха вначале и в конце процесса расширения
$p_{0}h_{0}S = \mu RT$,
$p (h_{0} + \Delta h) S = \mu RT$,
получим:
$p_{0} h_{0} = p(h_{0} - \Delta h)$. (2)
Следовательно, уравнение (1) с учетом (2) примет вид
$\frac{p_{0}h_{0} }{h_{0} + \Delta h } + \rho g (H - h_{0} - \Delta h) = p_{0}$.
Приведя это выражение к общему знаменателю, получим квадратное уравнение
$\Delta h^{2} + (2h_{0} - H + p_{0}/ \rho g) \Delta h - h_{0} (H - h_{0}) = 0$,
решая которое относительно величины $\Delta h$, получим:
$\Delta h = \frac{1}{2} \left ( \frac{p_{0} }{ \rho g} + 2h_{0} - H + \sqrt{ \left ( \frac{p_{0} }{ \rho g} + 2h_{0} - H \right )^{2} } + 4h_{0} (H - h_{0}) \right )$.
Следовательно, из сосуда вытечет жидкость массой
$\Delta m = \rho S \Delta h = \frac{1}{2} \rho S \left ( \frac{p_{0} }{ \rho g} + 2h_{0} - H + \sqrt{ \left ( \frac{p_{0}}{ \rho g} + 2h_{0} - H \right )^{2} + 2h_{0} (H - h_{0}) } \right )$.
Вертикальный цилиндрический сосуд сечением $S$ н высотой $H$ заполнен жидкостью плотностью $\rho$ и запаян при атмосферном давлении $p_{0}$. При этом высота столба воздуха в сосуде равна $h_{0}$. Какое количество жидкости вытечет из сосуда, если в его нижней части сделать небольшое отверстие? Температура не изменяется.
Решение:
Так как сосуд с жидкостью запаян при атмосферном давлении $p_{0}$, то если в его нижней части сделать отверстие, давление на уровне отверстия изнутри сосудабудет больше атмосферного и жидкость начнет вытекать. При этом воздух в сосуде будет расширяться и его давление уменьшаться. В некоторый момент времени давление воздуха уменьшится на столько, что жидкость перестанет вытекать. Тогда давление, действующее иа уровне отверстия (см. рис.), станет равным атмосферному:
$p + \rho g(H - h_{0} - \Delta h) = p_{0}$, (1)
где $\Delta h$ - высота слоя жидкости, которая вытечет из сосуда.
Используя уравнения состояния воздуха вначале и в конце процесса расширения
$p_{0}h_{0}S = \mu RT$,
$p (h_{0} + \Delta h) S = \mu RT$,
получим:
$p_{0} h_{0} = p(h_{0} - \Delta h)$. (2)
Следовательно, уравнение (1) с учетом (2) примет вид
$\frac{p_{0}h_{0} }{h_{0} + \Delta h } + \rho g (H - h_{0} - \Delta h) = p_{0}$.
Приведя это выражение к общему знаменателю, получим квадратное уравнение
$\Delta h^{2} + (2h_{0} - H + p_{0}/ \rho g) \Delta h - h_{0} (H - h_{0}) = 0$,
решая которое относительно величины $\Delta h$, получим:
$\Delta h = \frac{1}{2} \left ( \frac{p_{0} }{ \rho g} + 2h_{0} - H + \sqrt{ \left ( \frac{p_{0} }{ \rho g} + 2h_{0} - H \right )^{2} } + 4h_{0} (H - h_{0}) \right )$.
Следовательно, из сосуда вытечет жидкость массой
$\Delta m = \rho S \Delta h = \frac{1}{2} \rho S \left ( \frac{p_{0} }{ \rho g} + 2h_{0} - H + \sqrt{ \left ( \frac{p_{0}}{ \rho g} + 2h_{0} - H \right )^{2} + 2h_{0} (H - h_{0}) } \right )$.
