Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6105
2018-01-18 
Два тела соединены недеформированной пружиной жесткостью $k$ и расположены на гладкой горизонтальной поверхности (рис.). К телам одновременно прикладывают одинаковые противоположные силы $F$, направленные вдоль пружины. Определить удлинение пружины в момент, когда относительные скорости тел максимальны.
Решение:
Выберем начало системы координат в точке первоначального расположения, например, тела массой $m_{1}$, а ось ОX направим вдоль горизонта к телу массой $m_{2}$ (см. рис.).
Так как в горизонтальном направлении действие на систему внешних сил равно нулю, то для любого момента времени проекция полного импульса системы на это направление не изменится и, так как в начале движения система покоилась, будет равна нулю:
$m_{1} v_{1} - m_{2}v_{2} = 0$,
где знак "минус" между слагаемыми проставлен в связи с тем, что в любой момент времени импульсы тел направлены в противоположные стороны.
Если в начальный момент длина пружины в н«деформированном состоянии равна $l_{0}$, а к некоторому моменту тело массой $m_{1}$ пройдет расстояние $S_{1}$ (т.е. будет иметь координату - $x_{1}$), тело массой $m_{2}$ - расстояние $S_{2}$ (т.е. будет иметь координату $x_{2}$), то удлинение пружины станет равным
$\Delta x = x_{2} + | x_{1} | - l_{0} = x_{2} - x_{1} - l_{0}$.
Запишем закон сохранения энергии при движении системы:
$E_{2} - E_{1} = A( \vec{F}^{стор})$,
где $E_{1} = 0$ - начальная энергия системы; $E_{2} = 1/2 m_{1}v_{1}^{2} + 1/2 m_{2} v_{2}^{2} + 1/2 k \Delta x^{2}$ - энергия системы в рассматриваемый момент времени; $A(\vec{F}^{стор}) = F ( - x_{1}) + F(x_{2} - l_{0})$ - работа сторонних сил $\vec{F}$ на перемещениях $( - x_{1})$ и $(x_{2} - l_{0})$ соответственно. Следовательно,
$1/2 m_{1}v_{1}^{2} + 1/2 m_{2}v_{2}^{2} + 1/2k \Delta x^{2} = F ( - x_{1}) + F (x_{2} - l_{0})$.
Выразив, например, скорость $v_{2}$ из закона сохранения импульса
$v_{2} = v_{1} \frac{m_{1}}{m_{2}}$
и подставив в закон сохранения энергии
$1/2 m_{1} v_{1}^{2} + 1/2 m_{2}v_{1}^{2} \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2} } + 1/2 k \Delta x^{2} = F (x_{2} - x_{1} - l_{0})$,
с учетом выражения для $\Delta x$ получим:
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}(m_{1} + m_{2})}{2m_{2}} + \frac{k \Delta x^{2}}{2} = F \Delta x$.
Откуда находим значением $v_{1}$:
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2m_{2}}{m_{1} (m_{1} + m_{2})} \left ( F \Delta x - \frac{k \Delta x^{2}}{2} \right ) }$.
Так как в любой момент движения скорости тел направлены в противоположные стороны, то относительные скорости тел будут максимальны в момент, когда скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ будут максимальны (из закона сохранения импульса видно, что $v_{1}$ и $v_{2}$ принимают максимальные значения одновременно). Поэтому исследуем функцию $v_{1} ( \Delta x)$ на экстремум.Так как функция $v_{1} ( \Delta x)$ положительна, то она принимает максимальные и минимальные значения одновременно с функцией $v_{1}^{2} ( \Delta x)$. Следовательно,
$( v_{1}^{2} )^{ \prime} = \frac{2m_{2} }{m_{1} (m_{1} + m_{2} ) } (F -k \Delta x) = 0$.
Окончательно получаем:
$\Delta x = F/k$.
Два тела соединены недеформированной пружиной жесткостью $k$ и расположены на гладкой горизонтальной поверхности (рис.). К телам одновременно прикладывают одинаковые противоположные силы $F$, направленные вдоль пружины. Определить удлинение пружины в момент, когда относительные скорости тел максимальны.
Решение:
Выберем начало системы координат в точке первоначального расположения, например, тела массой $m_{1}$, а ось ОX направим вдоль горизонта к телу массой $m_{2}$ (см. рис.).
Так как в горизонтальном направлении действие на систему внешних сил равно нулю, то для любого момента времени проекция полного импульса системы на это направление не изменится и, так как в начале движения система покоилась, будет равна нулю:
$m_{1} v_{1} - m_{2}v_{2} = 0$,
где знак "минус" между слагаемыми проставлен в связи с тем, что в любой момент времени импульсы тел направлены в противоположные стороны.
Если в начальный момент длина пружины в н«деформированном состоянии равна $l_{0}$, а к некоторому моменту тело массой $m_{1}$ пройдет расстояние $S_{1}$ (т.е. будет иметь координату - $x_{1}$), тело массой $m_{2}$ - расстояние $S_{2}$ (т.е. будет иметь координату $x_{2}$), то удлинение пружины станет равным
$\Delta x = x_{2} + | x_{1} | - l_{0} = x_{2} - x_{1} - l_{0}$.
Запишем закон сохранения энергии при движении системы:
$E_{2} - E_{1} = A( \vec{F}^{стор})$,
где $E_{1} = 0$ - начальная энергия системы; $E_{2} = 1/2 m_{1}v_{1}^{2} + 1/2 m_{2} v_{2}^{2} + 1/2 k \Delta x^{2}$ - энергия системы в рассматриваемый момент времени; $A(\vec{F}^{стор}) = F ( - x_{1}) + F(x_{2} - l_{0})$ - работа сторонних сил $\vec{F}$ на перемещениях $( - x_{1})$ и $(x_{2} - l_{0})$ соответственно. Следовательно,
$1/2 m_{1}v_{1}^{2} + 1/2 m_{2}v_{2}^{2} + 1/2k \Delta x^{2} = F ( - x_{1}) + F (x_{2} - l_{0})$.
Выразив, например, скорость $v_{2}$ из закона сохранения импульса
$v_{2} = v_{1} \frac{m_{1}}{m_{2}}$
и подставив в закон сохранения энергии
$1/2 m_{1} v_{1}^{2} + 1/2 m_{2}v_{1}^{2} \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2} } + 1/2 k \Delta x^{2} = F (x_{2} - x_{1} - l_{0})$,
с учетом выражения для $\Delta x$ получим:
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}(m_{1} + m_{2})}{2m_{2}} + \frac{k \Delta x^{2}}{2} = F \Delta x$.
Откуда находим значением $v_{1}$:
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2m_{2}}{m_{1} (m_{1} + m_{2})} \left ( F \Delta x - \frac{k \Delta x^{2}}{2} \right ) }$.
Так как в любой момент движения скорости тел направлены в противоположные стороны, то относительные скорости тел будут максимальны в момент, когда скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ будут максимальны (из закона сохранения импульса видно, что $v_{1}$ и $v_{2}$ принимают максимальные значения одновременно). Поэтому исследуем функцию $v_{1} ( \Delta x)$ на экстремум.Так как функция $v_{1} ( \Delta x)$ положительна, то она принимает максимальные и минимальные значения одновременно с функцией $v_{1}^{2} ( \Delta x)$. Следовательно,
$( v_{1}^{2} )^{ \prime} = \frac{2m_{2} }{m_{1} (m_{1} + m_{2} ) } (F -k \Delta x) = 0$.
Окончательно получаем:
$\Delta x = F/k$.
