Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6102
2018-01-18 
Из шахты прямоугольного сечения на канате поднимают ящик с ускорением $a = 4 м/с^{2}$. Ширина ящика $d = 2 м$ практически равна ширине шахты, высота ящика $h = 1 м$. Канат прикреплен к центру верхней крышки ящика. Левую половину ящика занимает груз массой $m_{1} = 25 кг$, правую груз массой $m_{2} = 17 кг$. Определить силы давления ящика на стенки шахты. Трением пренебречь.
Решение:
Так как $m_{1} > m_{2}$, то на ящик будут действовать: сила натяжения веревки $\vec{T}$, силы тяжести левой и правой половин $m_{1} \vec{g}$ и $m_{2} \vec{g}$ соответственно (здесь мы считаем, что ящик как бы состоит нз двух частей массами $m_{1}$ и $m_{2}$), силы давления со стороны стенок шахты $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$, направленныетак, какпоказано на рисунке. При этом силой тяжести ящика мы пренебрегаем.
Уравнение движения ящика в проекции на ось OY выбранной системы координат (начало отсчета совпадает с геометрическим центром ящика, см. рис.) будет иметь вид
$(m_{1} + m_{2} )a = T - (m_{1} + m_{2} )g$. (1)
При движении ящика в шахте он будет давить на стенки с силами $\vec{P}_{1}$ и $\vec{P}_{2}$, численно равными $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ соответственно, только в точках А и В. Это связано с тем, что ящик из-за разных масс грузов в левой и правой половинах стремиться развернуться. Так как $m_{1} > m_{2}$, то центр масс системы (точка С) будет находиться в левой половине ящика. Очевидно, что координаты центра масс равны:
$x_{c} = \frac{ m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} }{m_{1} + m_{2} } = \frac{ m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \frac{d}{4}, y_{c} = \frac{ m_{1}y_{1} + m_{2}y_{2} }{ m_{1} + m_{2} } = 0, z_{c} = \frac{ m_{1}z_{1} + m_{2}z_{2} }{ m_{1} + m_{2} } = 0$, (2)
где $x_{1} = 1/4 d, x_{2} = - 1/4 d, y_{1} = y_{2} = z_{1} = z_{2} = 0$ - координаты центров масс грузов $m_{1}$ и $m_{2}$.
Запишем уравнение равенства нулю моментов сил, действующих на ящик, относительно оси. проходящей через центр масс:
$N_{1} \frac{h}{2} + m_{2}g \left ( \frac{d}{4} + x_{c} \right ) + N_{2} \frac{h}{2} - Tx_{c} - m_{2}g \left ( \frac{d}{4} - x_{c} \right ) = 0$,
или с учетом (1) и (2):
$N_{1} \frac{h}{2} + m_{2}g \frac{d}{4} \left ( 1 + \frac{m_{1} - m_{2} }{ m_{1} + m_{2} } \right ) + N_{2} \frac{h}{2} - (m_{1} + m_{2} )(a + g) \frac{ m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \frac{d}{4} - m_{1}g \frac{d}{4} \left ( 1 - \frac{ m_{1} - m_{2} }{ m_{1} + m_{2} } \right ) = 0$. (3)
Вдоль оси ОX ящик не перемещается, поэтому $N_{1} = N_{2}$. Тогда выражение (3) можно записать в виде
$Nh + \frac{m_{1}m_{2} gd }{2(m_{1} + m_{2} ) } - (a + g)( m_{1} - m_{2} ) \frac{d}{4} - \frac{m_{1} m_{2} gd }{2( m_{1} + m_{2}) } = 0$.
Откуда получим:
$N = \frac{(a + g( m_{1} - m_{2} )d}{4h}$.
Следовательно,
$P_{1} = P_{2} = N = \frac{(a + g) (m_{1} - m_{2} ) d}{4h} = 55,2 Н$.
Из шахты прямоугольного сечения на канате поднимают ящик с ускорением $a = 4 м/с^{2}$. Ширина ящика $d = 2 м$ практически равна ширине шахты, высота ящика $h = 1 м$. Канат прикреплен к центру верхней крышки ящика. Левую половину ящика занимает груз массой $m_{1} = 25 кг$, правую груз массой $m_{2} = 17 кг$. Определить силы давления ящика на стенки шахты. Трением пренебречь.
Решение:
Так как $m_{1} > m_{2}$, то на ящик будут действовать: сила натяжения веревки $\vec{T}$, силы тяжести левой и правой половин $m_{1} \vec{g}$ и $m_{2} \vec{g}$ соответственно (здесь мы считаем, что ящик как бы состоит нз двух частей массами $m_{1}$ и $m_{2}$), силы давления со стороны стенок шахты $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$, направленныетак, какпоказано на рисунке. При этом силой тяжести ящика мы пренебрегаем.
Уравнение движения ящика в проекции на ось OY выбранной системы координат (начало отсчета совпадает с геометрическим центром ящика, см. рис.) будет иметь вид
$(m_{1} + m_{2} )a = T - (m_{1} + m_{2} )g$. (1)
При движении ящика в шахте он будет давить на стенки с силами $\vec{P}_{1}$ и $\vec{P}_{2}$, численно равными $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ соответственно, только в точках А и В. Это связано с тем, что ящик из-за разных масс грузов в левой и правой половинах стремиться развернуться. Так как $m_{1} > m_{2}$, то центр масс системы (точка С) будет находиться в левой половине ящика. Очевидно, что координаты центра масс равны:
$x_{c} = \frac{ m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} }{m_{1} + m_{2} } = \frac{ m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \frac{d}{4}, y_{c} = \frac{ m_{1}y_{1} + m_{2}y_{2} }{ m_{1} + m_{2} } = 0, z_{c} = \frac{ m_{1}z_{1} + m_{2}z_{2} }{ m_{1} + m_{2} } = 0$, (2)
где $x_{1} = 1/4 d, x_{2} = - 1/4 d, y_{1} = y_{2} = z_{1} = z_{2} = 0$ - координаты центров масс грузов $m_{1}$ и $m_{2}$.
Запишем уравнение равенства нулю моментов сил, действующих на ящик, относительно оси. проходящей через центр масс:
$N_{1} \frac{h}{2} + m_{2}g \left ( \frac{d}{4} + x_{c} \right ) + N_{2} \frac{h}{2} - Tx_{c} - m_{2}g \left ( \frac{d}{4} - x_{c} \right ) = 0$,
или с учетом (1) и (2):
$N_{1} \frac{h}{2} + m_{2}g \frac{d}{4} \left ( 1 + \frac{m_{1} - m_{2} }{ m_{1} + m_{2} } \right ) + N_{2} \frac{h}{2} - (m_{1} + m_{2} )(a + g) \frac{ m_{1} - m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \frac{d}{4} - m_{1}g \frac{d}{4} \left ( 1 - \frac{ m_{1} - m_{2} }{ m_{1} + m_{2} } \right ) = 0$. (3)
Вдоль оси ОX ящик не перемещается, поэтому $N_{1} = N_{2}$. Тогда выражение (3) можно записать в виде
$Nh + \frac{m_{1}m_{2} gd }{2(m_{1} + m_{2} ) } - (a + g)( m_{1} - m_{2} ) \frac{d}{4} - \frac{m_{1} m_{2} gd }{2( m_{1} + m_{2}) } = 0$.
Откуда получим:
$N = \frac{(a + g( m_{1} - m_{2} )d}{4h}$.
Следовательно,
$P_{1} = P_{2} = N = \frac{(a + g) (m_{1} - m_{2} ) d}{4h} = 55,2 Н$.
