Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6100
2018-01-18 
В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали (рис.). Промежутки времени между ударами при движении в противоположные стороны равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Определить радиус лунки.
Решение:
Так как радиус лунки является перпендикуляром к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока ирадиусом одинаковы. Поэтому наша задачи аналогична тому, что из точки О (см. рис.) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями оо под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha)$ соответственно, причем дальности полета обоих случаях одинаковы.
Воспользуемся известной формулой длядальности полета $S$ тела вблизи поверхности земли:
$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$.
Откуда получим:
$\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha)$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$.
Тогда радиус лунки можно определить как
$R= \frac{1/2S}{ \cos ( \beta + \alpha) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$.
Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось ОX системы координат:
$x_{1} = v_{0} \cos \beta t - 1/2 gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha)t - \frac{1}{2} gt^{2}$.
В моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равными нулю. Поэтому
$0 = v_{0} \cos \beta t_{1} - 1 /2 gt_{1}^{2}, 0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha) t_{2} - 1/2 gt_{2}^{2}$,
или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$:
$v_{0} \cos \beta = 1/2 gt_{1}, v_{0} \sin \beta = 1/2 gt_{2}$.
Перемножая последние соотношения, получим:
$v_{0}^{2} \sin \beta \cos \beta = 1/4 g^{4}t_{1}t_{2}$.
Следовательно, дальность полета равна
$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{gt_{1}t_{2} }{2}$,
а радиус лунки
$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gt_{1}t_{2} }{2 \sqrt{2} }$.
В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали (рис.). Промежутки времени между ударами при движении в противоположные стороны равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Определить радиус лунки.
Решение:
Так как радиус лунки является перпендикуляром к поверхности лунки в точках удара и удар абсолютно упругий, то углы между векторами скорости шарика в моменты удара и отскока ирадиусом одинаковы. Поэтому наша задачи аналогична тому, что из точки О (см. рис.) одновременно бросают два тела с равными начальными скоростями оо под углами к горизонту $\beta$ и $( \beta + 2 \alpha)$ соответственно, причем дальности полета обоих случаях одинаковы.
Воспользуемся известной формулой длядальности полета $S$ тела вблизи поверхности земли:
$S = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{ v_{0}^{2} \sin 2 ( \beta + 2 \alpha ) }{g}$.
Откуда получим:
$\sin 2 \beta = \sin 2( \beta + 2 \alpha)$, или $\beta + \alpha = 45^{ \circ}$.
Тогда радиус лунки можно определить как
$R= \frac{1/2S}{ \cos ( \beta + \alpha) } = \frac{S}{ \sqrt{2} }$.
Для определения дальности полета $S$ запишем уравнения движения тела в проекции на ось ОX системы координат:
$x_{1} = v_{0} \cos \beta t - 1/2 gt^{2}, x_{2} = v_{0} \cos ( \beta + 2 \alpha)t - \frac{1}{2} gt^{2}$.
В моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$ координаты $x_{1}$ и $x_{2}$ становятся равными нулю. Поэтому
$0 = v_{0} \cos \beta t_{1} - 1 /2 gt_{1}^{2}, 0 = v_{0} \cos( \beta + 2 \alpha) t_{2} - 1/2 gt_{2}^{2}$,
или с учетом, что $\alpha = 45^{ \circ} - \beta$:
$v_{0} \cos \beta = 1/2 gt_{1}, v_{0} \sin \beta = 1/2 gt_{2}$.
Перемножая последние соотношения, получим:
$v_{0}^{2} \sin \beta \cos \beta = 1/4 g^{4}t_{1}t_{2}$.
Следовательно, дальность полета равна
$S = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \beta }{g} = \frac{gt_{1}t_{2} }{2}$,
а радиус лунки
$R = \frac{S}{ \sqrt{2}} = \frac{gt_{1}t_{2} }{2 \sqrt{2} }$.
