Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6070
2018-01-11 
Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора с воздушным диэлектриком, имеет резонансную частоту $\nu = 41,405 кГц$. После того, как контур поместили под вакуумный колпак и откачали воздух, измерение резонансной частоты дает $\nu_{0} = 41,418 кГц$. Определить диэлектрическую проницаемость воздуха.
Решение:
Емкость конденсатора пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами,
$C = \epsilon C_{0}$.
Поэтому резонансные частоты $\nu$ и $\nu_{0}$ контура до и после откачки воздуха определяются формулами:
$\nu = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{ \epsilon LC}}$;
$\nu_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{0}}}$.
Отсюда
$\epsilon = \left ( \frac{ \nu_{0}}{ \nu} \right )^{2}$.
Отношение частот очень близко к единице, и при его вычислении приходится учитывать много значащих цифр. Удобнее вычислять не саму величину $\epsilon$, а разность между $\epsilon$ и единицей:
$\epsilon - 1 = \frac{ \nu_{0}^{2}}{ \nu^{2}} - 1 = \frac{ \nu_{0}^{2} - \nu^{2}}{ \nu^{2}} = \frac{( \nu_{0} - \nu)( \nu_{0} + \nu)}{ \nu^{2}}$.
Частоты $\nu_{0}$ и $\nu$ очень близки, поэтому можно заменить $\nu_{0} + \nu \approx 2 \nu$. В результате получаем
$\epsilon - 1 = \frac{2( \nu_{0} - \nu)}{ \nu} = 0,00063$.
Следовательно, диэлектрическая проницаемость воздуха
$\epsilon = 1,00063$.
Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора с воздушным диэлектриком, имеет резонансную частоту $\nu = 41,405 кГц$. После того, как контур поместили под вакуумный колпак и откачали воздух, измерение резонансной частоты дает $\nu_{0} = 41,418 кГц$. Определить диэлектрическую проницаемость воздуха.
Решение:
Емкость конденсатора пропорциональна диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами,
$C = \epsilon C_{0}$.
Поэтому резонансные частоты $\nu$ и $\nu_{0}$ контура до и после откачки воздуха определяются формулами:
$\nu = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{ \epsilon LC}}$;
$\nu_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{0}}}$.
Отсюда
$\epsilon = \left ( \frac{ \nu_{0}}{ \nu} \right )^{2}$.
Отношение частот очень близко к единице, и при его вычислении приходится учитывать много значащих цифр. Удобнее вычислять не саму величину $\epsilon$, а разность между $\epsilon$ и единицей:
$\epsilon - 1 = \frac{ \nu_{0}^{2}}{ \nu^{2}} - 1 = \frac{ \nu_{0}^{2} - \nu^{2}}{ \nu^{2}} = \frac{( \nu_{0} - \nu)( \nu_{0} + \nu)}{ \nu^{2}}$.
Частоты $\nu_{0}$ и $\nu$ очень близки, поэтому можно заменить $\nu_{0} + \nu \approx 2 \nu$. В результате получаем
$\epsilon - 1 = \frac{2( \nu_{0} - \nu)}{ \nu} = 0,00063$.
Следовательно, диэлектрическая проницаемость воздуха
$\epsilon = 1,00063$.
