ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-11   
В нагревателе, подключенном к аккумулятору с э. д. с. $\mathcal{E} = 12 В$ и внутренним сопротивлением $r = 0,2 Ом$, выделяется тепловая мощность $P = 100 Вт$, при этом к. п. д. аккумулятора больше 50%. Когда спираль нагревателя перегорела, к аккумулятору подключили оставшуюся целой а = 0,8 часть спирали. Во сколько раз изменится при этом мощность в нагревателе и к.п.д. аккумулятора?
Указание. К.п.д. аккумулятора определяется в данном случае как отношение выделяющейся, в нагревателе тепловой мощности к полной мощности э.д.с.


Решение:


Из закона Ома для замкнутой цепи

$I = \frac{E}{r+R}$

и выражения для тепловой мощности

$P = I^{2}R$

получаем уравнение для нахождения начального сопротивления спирали $R$:

$R^{2} - \left ( \frac{E^{2}}{P} - 2r \right ) R + r^{2} = 0$.

Это уравнение имеет два решения

$R_{1,2} = \left ( \frac{E^{2}}{2P} - r \right ) \pm \sqrt{ \left ( \frac{E^{2} }{2P} - r \right )^{2} - r^{2}}$;
$R_{1} = 1 Ом, R_{2} = 0,04 Ом$.

Для выбора нужного значения $R$ найдем к.п.д.:

$\eta = \frac{I^{2}R}{EI} = \frac{R}{r+R}$;
$\eta_{1} = \frac{R_{1} }{r + R_{1}} = 0,825; \eta_{2} = \frac{R_{2} }{r + R_{2} } = 0,17$.

Условию задачи удовлетворяет только $R = R_{1}$. После укорочения спирали ее сопротивление

$R^{ \prime} = \alpha R_{1} = 0,8 Ом$.

Тепловая мощность

$P^{ \prime} = \frac{E^{2} R^{ \prime}}{ (R^{ \prime} + r)^{2} } = 115 Вт$

увеличится в $P^{ \prime}/P = 1,15 раз$, а к.п.д.

$\eta^{ \prime} = \frac{R^{ \prime} }{r + R^{ \prime} } = 0,8$

уменьшится в $\eta / \eta^{ \prime} = 1,03$ раза.