Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6010
2018-01-06 
На расстоянии $l = 1 м$ от экрана находится матовая лампочка. С помощью линзы, перемещая последнюю, дважды получают на экране четкое изображение лампочки. Освещенности изображений при этом отличаются в девять раз. Определить фокусное расстояние линзы. Расстояние от лампочки до линзы много больше ее радиуса $R$.
Решение:
Пусть лампочка излучает в единицу телесного угла мощность $F$. Найдем расстояние от лампочки до линзы, при которых на экране получается четкое изображение.
По формуле линзы
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{l - f} = \frac{l}{fl - f^{2}} \Rightarrow f^{2} - fl + Fl = 0 \Rightarrow f = \frac{l \pm \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{2}$.
Если радиус лампочки $r$, то радиус ее изображения $r^{ \prime} = \rho \frac{l - f}{f}$, а освещенность изображения $E = \frac{W}{ \pi r^{2}}$, где $W = \Phi \Omega$ - мощность излучения, падающего на линзу С (и на изображение); $\Omega$ - телесный угол, под которым видна линза из точки, в которой находится лампочка. Тогда $W = \Phi \frac{ \pi R^{2}}{f^{2}}$, следовательно,
$E = \Phi \frac{ \frac{ \pi R^{2}}{f^{2}}}{ \pi \rho^{2} \frac{(l - f)^{2}}{f^{2}}} = \Phi \frac{R^{2}}{ \rho^{2}} \frac{1}{(l - f)^{2}}$.
Тогда в одном случае
$E_{1} = \Phi \frac{R^{2}}{ \rho^{2}} \frac{1}{ \left ( l - \frac{l + \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{2} \right )^{2}}$,
а во втором
$E_{2} = \Phi \frac{R^{2}}{ \rho^{2}} \frac{1}{ \left ( l - \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{2} \right )^{2}}$.
Таким образом,
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left ( \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{l + \sqrt{l^{2} - 4Fl}} \right )^{2}$.
По условию $\frac{E_{1}}{E_{2}} = n \Rightarrow \sqrt{n} = \left ( \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{l + \sqrt{l^{2} - 4Fl}} \right )^{2}$.
Далее получим
$l^{2} - 4Fl = \frac{n + 1 - 2 \sqrt{n}}{n + 1 + 2 \sqrt{n}} l^{2} \Rightarrow 4Fl = l^{2} \left ( 1 - \frac{n + 1 - 2 \sqrt{n}}{n + 1 + 2 \sqrt{n}} \right ) = l^{2} \frac{4 \sqrt{n}}{n + 1 + 2 \sqrt{n}} \Rightarrow F = l \frac{ \sqrt{n}}{(1 + \sqrt{n})^{2}}$.
Отсюда
$F = l \frac{ \sqrt{n}}{(1 + \sqrt{n})^{2}} = 1 \frac{3}{(1 + 3)^{2}} = 18,75 см$.
На расстоянии $l = 1 м$ от экрана находится матовая лампочка. С помощью линзы, перемещая последнюю, дважды получают на экране четкое изображение лампочки. Освещенности изображений при этом отличаются в девять раз. Определить фокусное расстояние линзы. Расстояние от лампочки до линзы много больше ее радиуса $R$.
Решение:
Пусть лампочка излучает в единицу телесного угла мощность $F$. Найдем расстояние от лампочки до линзы, при которых на экране получается четкое изображение.
По формуле линзы
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{l - f} = \frac{l}{fl - f^{2}} \Rightarrow f^{2} - fl + Fl = 0 \Rightarrow f = \frac{l \pm \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{2}$.
Если радиус лампочки $r$, то радиус ее изображения $r^{ \prime} = \rho \frac{l - f}{f}$, а освещенность изображения $E = \frac{W}{ \pi r^{2}}$, где $W = \Phi \Omega$ - мощность излучения, падающего на линзу С (и на изображение); $\Omega$ - телесный угол, под которым видна линза из точки, в которой находится лампочка. Тогда $W = \Phi \frac{ \pi R^{2}}{f^{2}}$, следовательно,
$E = \Phi \frac{ \frac{ \pi R^{2}}{f^{2}}}{ \pi \rho^{2} \frac{(l - f)^{2}}{f^{2}}} = \Phi \frac{R^{2}}{ \rho^{2}} \frac{1}{(l - f)^{2}}$.
Тогда в одном случае
$E_{1} = \Phi \frac{R^{2}}{ \rho^{2}} \frac{1}{ \left ( l - \frac{l + \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{2} \right )^{2}}$,
а во втором
$E_{2} = \Phi \frac{R^{2}}{ \rho^{2}} \frac{1}{ \left ( l - \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{2} \right )^{2}}$.
Таким образом,
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left ( \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{l + \sqrt{l^{2} - 4Fl}} \right )^{2}$.
По условию $\frac{E_{1}}{E_{2}} = n \Rightarrow \sqrt{n} = \left ( \frac{l - \sqrt{l^{2} - 4Fl}}{l + \sqrt{l^{2} - 4Fl}} \right )^{2}$.
Далее получим
$l^{2} - 4Fl = \frac{n + 1 - 2 \sqrt{n}}{n + 1 + 2 \sqrt{n}} l^{2} \Rightarrow 4Fl = l^{2} \left ( 1 - \frac{n + 1 - 2 \sqrt{n}}{n + 1 + 2 \sqrt{n}} \right ) = l^{2} \frac{4 \sqrt{n}}{n + 1 + 2 \sqrt{n}} \Rightarrow F = l \frac{ \sqrt{n}}{(1 + \sqrt{n})^{2}}$.
Отсюда
$F = l \frac{ \sqrt{n}}{(1 + \sqrt{n})^{2}} = 1 \frac{3}{(1 + 3)^{2}} = 18,75 см$.
