Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6004
2018-01-06 
Электромагнитная пушка представляет собой коаксиальную систему, состоящую из металлической трубки, внутренний диаметр которой равен $D$, и стержня, наружный диаметр которого равен $d$. Длина и стержня и трубки равна $L$. Вдоль пушки, одновременно касаясь и стержня и трубки, может без трения скользить металлическая шайба массы $m$. В момент времени $t = 0$ между стержнем и трубкой прикладывается напряжение $U$, шайба в начальный момент времени неподвижна и находится на том конце стержня, к которому приложено напряжение. Определить, с какой скоростью $V_{0}$ вылетит шайба из пушки.
Решение:
Запишем закон электромагнитной индукции:
$U_{ind} = - d \Phi / dt$,
где поток $\Phi$ можно рассчитать как $\Phi = ( \mu_{0} Ix / 2 \pi) ln (D/d); x$ -расстояние от начала трубки до шайбы; $I$ - ток коаксиальной системы. Интегрируя данное уравнение, получим:
$Ut = \frac{ \mu_{0} Ix}{2 \pi} ln \left ( \frac{D}{d} \right ), I = \frac{ \frac{Ut}{x}}{ \frac{ \mu_{0}}{2 \pi}} ln \left ( \frac{D}{d} \right )$.
Сила, действующая на шайбу, $F = Id \Phi / dx = ( \mu_{0} I^{2}/2 \pi ) ln ( D / d) = mdV/dt$ или $(Ut/x)^{2}/( \mu_{0}/2 \pi) ln(D/d) = mdV/dt$. Ищем решение в виде $x = kt^{ y}$:
$((U/k)^{2} / ( \mu_{0} / 2 \pi) ln (D/d)) t^{2 - 2y} = mky (y - 1) t^{ y -2}$.
Запишем
$2 - 2y = y - 2, y = 4/3, k^{3} = 9 \frac{ \left ( \frac{U^{2}}{ \frac{ \mu_{0}}{2 \pi} ln \left ( \frac{D}{d} \right ) } \right )}{4m}$.
Известно, что $L = kt_{0}^{4/3}, t_{0} = \left ( \frac{L}{k} \right )^{3/4}$.
Подставим выражения для величин x и y: $V = (4k/3)t^{(1/3)}, V_{0} = (4k/3)t_{0}^{1/3} = (4/3)k^{3/4}L^{1/4} = 4/3 (9L(U^{2} / (( \mu_{0}/2 \pi) ln(D/d)))/4m )^{1/4}$, откуда $V_{0} = \frac{4}{3} \left ( 9L \frac{ \frac{U^{2}}{ \frac{ \mu_{0}}{2 \pi} ln \left ( \frac{D}{d} \right ) } }{4m} \right )^{1/4}$.
Электромагнитная пушка представляет собой коаксиальную систему, состоящую из металлической трубки, внутренний диаметр которой равен $D$, и стержня, наружный диаметр которого равен $d$. Длина и стержня и трубки равна $L$. Вдоль пушки, одновременно касаясь и стержня и трубки, может без трения скользить металлическая шайба массы $m$. В момент времени $t = 0$ между стержнем и трубкой прикладывается напряжение $U$, шайба в начальный момент времени неподвижна и находится на том конце стержня, к которому приложено напряжение. Определить, с какой скоростью $V_{0}$ вылетит шайба из пушки.
Решение:
Запишем закон электромагнитной индукции:
$U_{ind} = - d \Phi / dt$,
где поток $\Phi$ можно рассчитать как $\Phi = ( \mu_{0} Ix / 2 \pi) ln (D/d); x$ -расстояние от начала трубки до шайбы; $I$ - ток коаксиальной системы. Интегрируя данное уравнение, получим:
$Ut = \frac{ \mu_{0} Ix}{2 \pi} ln \left ( \frac{D}{d} \right ), I = \frac{ \frac{Ut}{x}}{ \frac{ \mu_{0}}{2 \pi}} ln \left ( \frac{D}{d} \right )$.
Сила, действующая на шайбу, $F = Id \Phi / dx = ( \mu_{0} I^{2}/2 \pi ) ln ( D / d) = mdV/dt$ или $(Ut/x)^{2}/( \mu_{0}/2 \pi) ln(D/d) = mdV/dt$. Ищем решение в виде $x = kt^{ y}$:
$((U/k)^{2} / ( \mu_{0} / 2 \pi) ln (D/d)) t^{2 - 2y} = mky (y - 1) t^{ y -2}$.
Запишем
$2 - 2y = y - 2, y = 4/3, k^{3} = 9 \frac{ \left ( \frac{U^{2}}{ \frac{ \mu_{0}}{2 \pi} ln \left ( \frac{D}{d} \right ) } \right )}{4m}$.
Известно, что $L = kt_{0}^{4/3}, t_{0} = \left ( \frac{L}{k} \right )^{3/4}$.
Подставим выражения для величин x и y: $V = (4k/3)t^{(1/3)}, V_{0} = (4k/3)t_{0}^{1/3} = (4/3)k^{3/4}L^{1/4} = 4/3 (9L(U^{2} / (( \mu_{0}/2 \pi) ln(D/d)))/4m )^{1/4}$, откуда $V_{0} = \frac{4}{3} \left ( 9L \frac{ \frac{U^{2}}{ \frac{ \mu_{0}}{2 \pi} ln \left ( \frac{D}{d} \right ) } }{4m} \right )^{1/4}$.
