Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6003
2018-01-06 
Два параллельных металлических цилиндра радиуса $R$ заряжены линейной плотностью заряда $\lambda$ противоположного знака. Расстояние между осями равно $3R$. Определить силу взаимодействия между цилиндрами на единицу длины.
Решение:
Пусть две параллельные бесконечные нити с линейными плотностями заряда $+ \lambda$ и $- \lambda$ находятся на расстоянии $a$ друг от друга. Напряженность поля вокруг каждой из нитей и, следовательно, потенциалы посередине и напряженность равны соответственно
$E_{1} = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r_{1}}$,
$E_{2} = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r_{2}}$,
$\phi_{1} = - \int_{r_{0}}^{r_{1}} \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r} = - \lambda ln \frac{r_{1}}{r_{0}}$,
где $r_{0} = a/2$.
Докажем, что цилиндрическая поверхность - эквипотенциальная:
$- \lambda ln \frac{r_{1}}{r_{0}} + \lambda ln \frac{r_{2}}{a - r_{0}} = 2 \pi \epsilon_{0} \phi, \frac{r_{1}}{r_{0}} \frac{a - r_{0}}{r_{2}} = e^{ - \frac{2 \pi \epsilon_{0} \phi}{ \lambda}}$,
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = e^{ - \frac{2 \pi \epsilon_{0} \phi}{ \lambda}} = \frac{1}{k} = \frac{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{ \sqrt{(a - x)^{2} + y^{2}}}$, (*)
$ \frac{(a - x)^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = k, a^{2} - 2ax + x^{2} + y^{2} = kx^{2} + ky^{2}$,
$x^{2} + \frac{2ax}{k - 1} + \frac{a^{2}}{(k-1)^{2}} + y^{2} = \frac{ka^{2}}{(k-1)^{2}}, \left ( x + \frac{a}{(k-1)} \right )^{2} + y^{2} = \frac{ka^{2}}{(k-1)^{2}}$.
Ось цилиндра радиуса $R = \frac{ \sqrt{k} a}{k - 1}$ смещена на $b = \frac{a}{k-1}$.
Далее из геометрических соображений следует
$2b + a = 3R, \frac{2a}{k - 1} + a = \frac{3 \sqrt{k} a}{k - 1}, 2 + (k - 1) = 3 \sqrt{k}$,
$k - 3 \sqrt{k} + 1 = 0, \sqrt{k} = 1,5 \pm \sqrt{2,25 - 1} = 0,5 (3 \pm \sqrt{5})$.
Так как $k \geq 1, \sqrt{k} = 0,5(3 + \sqrt{5}) = 2,6$. Из (*) получим
$k = e^{ \frac{2 \pi \epsilon_{0} \phi}{ \lambda}} = 6,8, \Delta \phi = 2 \phi = \frac{ \lambda ln 6,8}{ \pi \epsilon_{0}}$,
$\frac{2a}{k-1} + a = 3R, a = \frac{3R(k-1)}{k + 1} = 2,23R$.
Тогда сила на единицу длины $f = \frac{ \lambda^{2}}{2 \pi \epsilon_{0}(2,23R)} = \frac{ \lambda^{2}}{4,46 \pi \epsilon_{0}R}$.
Ответ: $f = \frac{ \lambda^{2}}{4,46 \pi \epsilon_{0}R}$.
Два параллельных металлических цилиндра радиуса $R$ заряжены линейной плотностью заряда $\lambda$ противоположного знака. Расстояние между осями равно $3R$. Определить силу взаимодействия между цилиндрами на единицу длины.
Решение:
Пусть две параллельные бесконечные нити с линейными плотностями заряда $+ \lambda$ и $- \lambda$ находятся на расстоянии $a$ друг от друга. Напряженность поля вокруг каждой из нитей и, следовательно, потенциалы посередине и напряженность равны соответственно
$E_{1} = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r_{1}}$,
$E_{2} = \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r_{2}}$,
$\phi_{1} = - \int_{r_{0}}^{r_{1}} \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}r} = - \lambda ln \frac{r_{1}}{r_{0}}$,
где $r_{0} = a/2$.
Докажем, что цилиндрическая поверхность - эквипотенциальная:
$- \lambda ln \frac{r_{1}}{r_{0}} + \lambda ln \frac{r_{2}}{a - r_{0}} = 2 \pi \epsilon_{0} \phi, \frac{r_{1}}{r_{0}} \frac{a - r_{0}}{r_{2}} = e^{ - \frac{2 \pi \epsilon_{0} \phi}{ \lambda}}$,
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = e^{ - \frac{2 \pi \epsilon_{0} \phi}{ \lambda}} = \frac{1}{k} = \frac{ \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{ \sqrt{(a - x)^{2} + y^{2}}}$, (*)
$ \frac{(a - x)^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = k, a^{2} - 2ax + x^{2} + y^{2} = kx^{2} + ky^{2}$,
$x^{2} + \frac{2ax}{k - 1} + \frac{a^{2}}{(k-1)^{2}} + y^{2} = \frac{ka^{2}}{(k-1)^{2}}, \left ( x + \frac{a}{(k-1)} \right )^{2} + y^{2} = \frac{ka^{2}}{(k-1)^{2}}$.
Ось цилиндра радиуса $R = \frac{ \sqrt{k} a}{k - 1}$ смещена на $b = \frac{a}{k-1}$.
Далее из геометрических соображений следует
$2b + a = 3R, \frac{2a}{k - 1} + a = \frac{3 \sqrt{k} a}{k - 1}, 2 + (k - 1) = 3 \sqrt{k}$,
$k - 3 \sqrt{k} + 1 = 0, \sqrt{k} = 1,5 \pm \sqrt{2,25 - 1} = 0,5 (3 \pm \sqrt{5})$.
Так как $k \geq 1, \sqrt{k} = 0,5(3 + \sqrt{5}) = 2,6$. Из (*) получим
$k = e^{ \frac{2 \pi \epsilon_{0} \phi}{ \lambda}} = 6,8, \Delta \phi = 2 \phi = \frac{ \lambda ln 6,8}{ \pi \epsilon_{0}}$,
$\frac{2a}{k-1} + a = 3R, a = \frac{3R(k-1)}{k + 1} = 2,23R$.
Тогда сила на единицу длины $f = \frac{ \lambda^{2}}{2 \pi \epsilon_{0}(2,23R)} = \frac{ \lambda^{2}}{4,46 \pi \epsilon_{0}R}$.
Ответ: $f = \frac{ \lambda^{2}}{4,46 \pi \epsilon_{0}R}$.
