ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-06   
К вершине металлического конуса приставлен тонкий и очень длинный стержень, заряженный линейной плотностью заряда $\tau$ и совпадающий с осью конуса. Полуугол при вершине конуса равен $\alpha_{0}$. Определить напряженность электрического поля на поверхности конуса на расстоянии $r_{0}$ от вершины.


Решение:


Предположим, что два бесконечных противоположно заряженных стержня лежат на одной прямой и соприкасаются друг с другом. Докажем, что эквипотенциальная поверхность имеет форму конуса с вершиной в точке соприкосновения.

Определим потенциал в произвольной точке О на конической поверхности с полууглом $\alpha$:

$\phi_{0} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi} \frac{ \tau dx}{4 \pi \epsilon_{0} r} - \int_{ \alpha_{0}}^{ 0} \frac{ \tau dx}{4 \pi \epsilon_{0} r} = \int_{ \pi - \alpha_{0}}^{ \alpha_{0}} \frac{ \tau dx}{4 \pi \epsilon_{0} r} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi - \alpha_{0}} \frac{ \tau \left ( \frac{a}{ \sin^{2} \alpha} \right ) d \alpha }{ 4 \pi \epsilon_{0} \left ( \frac{a}{ \sin \alpha} \right )} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi - \alpha_{0}} \frac{ \tau d \alpha}{ 4 \pi \epsilon_{0} \sin \alpha } = \int_{ - \cos \alpha_{0}}^{ \cos \alpha_{0}} \frac{ \tau dz}{4 \pi \epsilon_{0} (1 - z^{2})} = \frac{ \tau}{8 \pi \epsilon_{0}} \int_{ - \cos \alpha_{0}}^{ \cos \alpha_{0}} \left ( \frac{1}{(1 - z)} + \frac{1}{(1 + z)} \right ) dz = \frac{ \tau}{ 4 \pi \epsilon_{0}} ln \frac{1 + \cos \alpha_{0}}{1 - \cos \alpha_{0}}$.

При этом расстояние от точки О до стержня равно $a$, радиус-вектор, проведенный из точки О к элементу стержня $dx$, равен $r = x/ \cos \alpha = a / \sin \alpha$, где $\alpha$ - угол между радиус-вектором $r$ и стержнем. Заряд выделенного элемента равен $dq= \tau dx$. Потенциал не зависит ни от $\alpha$, ни от $r$, следовательно, коническая поверхность, угол между образующей и осью которой равен $\alpha_{0}$, является эквипотенциальной поверхностью. Тогда, поместив на коническую поверхность металлическую оболочку, получим физическую ситуацию, соответствующую условию задачи, откуда легко определить напряженность поля на поверхности конуса:

$E_{x} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi} \frac{ \tau \cos \alpha dx}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} - \int_{0}^{ \alpha_{0}} \frac{ \tau \cos \alpha dx}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = - 2 \int_{ \alpha}^{ \alpha_{0}} \frac{ \tau \cos \alpha dx}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = 2 \int_{0}^{ \alpha_{0}} \frac{ \tau \cos \alpha \left ( \frac{a}{ \sin^{2} \alpha} \right ) d \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} \left ( \frac{a}{ \sin \alpha } \right )^{2}} = 2 \int_{0}^{ \alpha_{0}} \frac{ \tau \cos \alpha f \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} a} = \frac{ \tau \sin \alpha_{0}}{2 \pi \epsilon_{0} a} = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0}r_{0}}$,
$E_{y} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi} \frac{ \tau \sin \alpha dx}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} - \int_{0}^{ \alpha_{0}} \frac{ \tau \cos \alpha dx}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi - \alpha_{0}} \frac{ \tau \sin \alpha dx}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = \int_{ \alpha_{0}}^{ \pi - \alpha_{0}} \frac{ \tau \sin \alpha d \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} a} = \frac{ \tau \cos \alpha_{0}}{2 \pi \epsilon_{0}r_{0} \sin \alpha_{0}}$,
$E = \sqrt{E_{Oy}^{2} + E_{Ox}^{2}} = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0}r_{0} \sin \alpha_{0}}$.

Ответ: $E = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0}r_{0} \sin \alpha_{0}}$.