Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 6000
2018-01-06 
Металлический шар радиуса $r$ заземлен через сопротивление $R$. Шар помещен в поток электронов, плотность тока которых равна $j$, а скорость равна $V$. Определить максимальный потенциал, до которого зарядится шар.
Решение:
Когда потенциал шара достигнет своего максимального значения, наступит своеобразное равновесие: заряд электронов, падающих на него за некоторое время $dt$, будет равен заряду, прошедшему через резистор $dq = Idt$. Пусть потенциал шара равен $U$, тогда через резистор потечет ток $I = \frac{U}{R}$ (так как потенциал Земли равен нулю). Ток электронов, падающих на шар, равен $j \pi \rho^{2}$, где $\rho$ - прицельный параметр, зависящий от потенциала $U$. Найдем $\rho$.
Запишем закон сохранения энергии для электрона в поле заряда $Q$, определяемого соотношением $Q = 4 \pi \epsilon_{0} Ur$:
$\frac{MV^{2}}{2} + \frac{Ue}{4 \pi \epsilon_{0} r_{0}} = \frac{mu^{2}}{2} + \frac{Ue}{4 \pi \epsilon r}$,
где $r_{0}$ - расстояние от источника электронов до шара. Откуда:
$\frac{MV^{2}}{2} - \frac{mu^{2}}{2}= eU$.
Тогда $U = \sqrt{V^{2} - \frac{2eU}{m}}$, где $m, e$ - масса и заряд электрона.
Так как сила, действующая на отдельный электрон со стороны шара, центральная, а действием других электронов на него мы пренебрегаем, имеет место закон сохранения момента импульса относительно центра шара:
$mV \rho = mUr, U = V \frac{ \rho}{r}$.
Откуда возможно осуществить следующие преобразования:
$V \frac{ \rho}{r} = \sqrt{V^{2} - \frac{2eU}{m}}$,
$\rho = r \sqrt{1 - \frac{2eU}{mV^{2}}}$,
$\pi \rho^{2} j = \frac{U}{R}, \pi \rho^{2} j \left ( 1 - \frac{2eU}{mV^{2}} \right ) = \frac{U}{R} \Rightarrow 1 - \frac{2eU}{mV^{2}} = \frac{U}{ \pi r^{2} jR}$,
$1 = U \left ( \frac{2e}{mV^{2}} + \frac{1}{ \pi r^{2} jR} \right ) = U \frac{mV^{2} + 2e \pi r^{2} jR}{mV^{2} \pi r^{2} jR} \Rightarrow U = \frac{mV^{2} \pi r^{2} jR}{mV^{2} + 2e \pi r^{2} jR}$.
Ответ: $U = \frac{mV^{2} \pi r^{2} jR}{mV^{2} + 2e \pi r^{2} jR}$.
Металлический шар радиуса $r$ заземлен через сопротивление $R$. Шар помещен в поток электронов, плотность тока которых равна $j$, а скорость равна $V$. Определить максимальный потенциал, до которого зарядится шар.
Решение:
Когда потенциал шара достигнет своего максимального значения, наступит своеобразное равновесие: заряд электронов, падающих на него за некоторое время $dt$, будет равен заряду, прошедшему через резистор $dq = Idt$. Пусть потенциал шара равен $U$, тогда через резистор потечет ток $I = \frac{U}{R}$ (так как потенциал Земли равен нулю). Ток электронов, падающих на шар, равен $j \pi \rho^{2}$, где $\rho$ - прицельный параметр, зависящий от потенциала $U$. Найдем $\rho$.
Запишем закон сохранения энергии для электрона в поле заряда $Q$, определяемого соотношением $Q = 4 \pi \epsilon_{0} Ur$:
$\frac{MV^{2}}{2} + \frac{Ue}{4 \pi \epsilon_{0} r_{0}} = \frac{mu^{2}}{2} + \frac{Ue}{4 \pi \epsilon r}$,
где $r_{0}$ - расстояние от источника электронов до шара. Откуда:
$\frac{MV^{2}}{2} - \frac{mu^{2}}{2}= eU$.
Тогда $U = \sqrt{V^{2} - \frac{2eU}{m}}$, где $m, e$ - масса и заряд электрона.
Так как сила, действующая на отдельный электрон со стороны шара, центральная, а действием других электронов на него мы пренебрегаем, имеет место закон сохранения момента импульса относительно центра шара:
$mV \rho = mUr, U = V \frac{ \rho}{r}$.
Откуда возможно осуществить следующие преобразования:
$V \frac{ \rho}{r} = \sqrt{V^{2} - \frac{2eU}{m}}$,
$\rho = r \sqrt{1 - \frac{2eU}{mV^{2}}}$,
$\pi \rho^{2} j = \frac{U}{R}, \pi \rho^{2} j \left ( 1 - \frac{2eU}{mV^{2}} \right ) = \frac{U}{R} \Rightarrow 1 - \frac{2eU}{mV^{2}} = \frac{U}{ \pi r^{2} jR}$,
$1 = U \left ( \frac{2e}{mV^{2}} + \frac{1}{ \pi r^{2} jR} \right ) = U \frac{mV^{2} + 2e \pi r^{2} jR}{mV^{2} \pi r^{2} jR} \Rightarrow U = \frac{mV^{2} \pi r^{2} jR}{mV^{2} + 2e \pi r^{2} jR}$.
Ответ: $U = \frac{mV^{2} \pi r^{2} jR}{mV^{2} + 2e \pi r^{2} jR}$.
