Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5999
2018-01-06 
Заряженная частица, имеющая заряд $Q$ и массу $m$, движется по прямой, проходящей через центр заземленной металлической сферы радиуса $R$. Определить скорость частицы на расстоянии $2R$ от центра сферы, если на бесконечности эта скорость была равна $V_{0}$.
Решение:
Применим метод изображений. Тогда изображением данной сферы будет заряд, равный $q = - QR/x$, где $x$ - расстояние от заряда $Q$ до центра сферы. Расстояние эквивалентного заряда от центра сферы равно $r = R^{2}/x$. Тогда работа сил Кулона
$A = \int_{2R}^{ \infty} \frac{(Q^{2}R / x)}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( x - \frac{R^{2}}{x} \right )^{2} dx = \frac{Q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R} \int_{0}^{ \infty} ydy / (y^{2} - 1)^{2} = \frac{Q^{2}/4 \pi \epsilon_{0}R}{6} $.
Закон сохранения энергии имеет вид
$\frac{mV_{0}^{2}}{2}+ A = \frac{mV^{2}}{2}$.
Отсюда
$V^{2} = V_{0}^{2} + 2A/m = V_{0}^{2} + Q^{2} / 24 \pi \epsilon_{0} R$.
Тогда
$V = \sqrt{ \frac{V_{0}^{2} + Q^{2}}{24 \pi \epsilon_{0} R}}$.
Ответ: $V = \sqrt{ \frac{V_{0}^{2} + Q^{2}}{24 \pi \epsilon_{0} R}}$.
Заряженная частица, имеющая заряд $Q$ и массу $m$, движется по прямой, проходящей через центр заземленной металлической сферы радиуса $R$. Определить скорость частицы на расстоянии $2R$ от центра сферы, если на бесконечности эта скорость была равна $V_{0}$.
Решение:
Применим метод изображений. Тогда изображением данной сферы будет заряд, равный $q = - QR/x$, где $x$ - расстояние от заряда $Q$ до центра сферы. Расстояние эквивалентного заряда от центра сферы равно $r = R^{2}/x$. Тогда работа сил Кулона
$A = \int_{2R}^{ \infty} \frac{(Q^{2}R / x)}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( x - \frac{R^{2}}{x} \right )^{2} dx = \frac{Q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R} \int_{0}^{ \infty} ydy / (y^{2} - 1)^{2} = \frac{Q^{2}/4 \pi \epsilon_{0}R}{6} $.
Закон сохранения энергии имеет вид
$\frac{mV_{0}^{2}}{2}+ A = \frac{mV^{2}}{2}$.
Отсюда
$V^{2} = V_{0}^{2} + 2A/m = V_{0}^{2} + Q^{2} / 24 \pi \epsilon_{0} R$.
Тогда
$V = \sqrt{ \frac{V_{0}^{2} + Q^{2}}{24 \pi \epsilon_{0} R}}$.
Ответ: $V = \sqrt{ \frac{V_{0}^{2} + Q^{2}}{24 \pi \epsilon_{0} R}}$.
