Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5998
2018-01-06 
Диэлектрическая сфера радиуса $R$ разделена на две неравные части изолирующей плоскостью. Части заряжены по поверхности зарядами $Q$ и $- q$ так, что $\frac{|q|}{S_{q}} = \frac{|Q|}{S_{Q}}$. Определить силу притяжения между ними.
Решение:
Так как модуль силы взаимодействия частей сферы не зависит от знаков их зарядов, будем считать, что они одноименны. (При этом мы получим, что части отталкиваются, но с той же силой.)
Тогда мы получаем сферу, равномерно заряженную зарядом $Q_{0} = Q + q$, откуда поверхностная плотность $\sigma = \frac{Q+q}{4 \pi R^{2}}$.
Рассмотрим на сфере элементарную площадку площади $dS$. Напряженность поля в отверстии, образующемся при удалении этой площадки, равна $E_{0} = \sigma / 2 \epsilon_{0}$. Тогда сила, действующая на нее $F = E \sigma dS = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} dS$; сила на единицу площади $P = \frac{F}{S} = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$. В силу того, что $P = const$, искомая сила будет такой же, как сила расталкивания тех же частей сферы, заполненной газом с давлением $P$. Сила, действующая на каждую часть, $F = P \pi r^{2}$, где $r$ - радиус окружности, по которой перегородка пересекает сферу.
$S_{1} = 2 \pi R^{2} (1 - \cos \phi); S_{2} = 2 \pi R^{2} (1 + \cos \phi )$.
Из условий следует $\sigma = \frac{q}{S_{1}} = \frac{Q}{S_{2}} \Rightarrow \frac{q}{1 - \cos \phi} = \frac{Q}{1 + \cos \phi} \Rightarrow q + q \cos \phi = Q - Q \cos \phi \Rightarrow \cos \phi = \frac{Q - q}{Q + q}$.
Отсюда найдем величину $r$:
$r = R \sin \phi$,
$\sin \phi = \sqrt{1 - \cos^{2} \phi} = \sqrt{1 - \left ( \frac{Q - q}{Q + q} \right )^{2}} = \frac{2 \sqrt{Qq}}{Q + q}$,
$r = \frac{2R \sqrt{Qq}}{Q + q}$.
Осуществим подстановки: $F = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \pi r^{2}$;
$\sigma = \frac{Q + q}{4 \pi R^{2}} \Rightarrow F = \frac{ \pi}{2 \epsilon_{0}} \left ( \frac{Q+q}{4 \pi R^{2}} \frac{2R \sqrt{qQ}}{Q+q} \right )^{2} = \frac{ \pi}{2 \epsilon_{0}} \frac{qQ}{4 \pi^{2}R^{2}} = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{R^{2}}$.
Ответ: $F = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{R^{2}}$.
Диэлектрическая сфера радиуса $R$ разделена на две неравные части изолирующей плоскостью. Части заряжены по поверхности зарядами $Q$ и $- q$ так, что $\frac{|q|}{S_{q}} = \frac{|Q|}{S_{Q}}$. Определить силу притяжения между ними.
Решение:
Так как модуль силы взаимодействия частей сферы не зависит от знаков их зарядов, будем считать, что они одноименны. (При этом мы получим, что части отталкиваются, но с той же силой.)
Тогда мы получаем сферу, равномерно заряженную зарядом $Q_{0} = Q + q$, откуда поверхностная плотность $\sigma = \frac{Q+q}{4 \pi R^{2}}$.
Рассмотрим на сфере элементарную площадку площади $dS$. Напряженность поля в отверстии, образующемся при удалении этой площадки, равна $E_{0} = \sigma / 2 \epsilon_{0}$. Тогда сила, действующая на нее $F = E \sigma dS = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} dS$; сила на единицу площади $P = \frac{F}{S} = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$. В силу того, что $P = const$, искомая сила будет такой же, как сила расталкивания тех же частей сферы, заполненной газом с давлением $P$. Сила, действующая на каждую часть, $F = P \pi r^{2}$, где $r$ - радиус окружности, по которой перегородка пересекает сферу.
$S_{1} = 2 \pi R^{2} (1 - \cos \phi); S_{2} = 2 \pi R^{2} (1 + \cos \phi )$.
Из условий следует $\sigma = \frac{q}{S_{1}} = \frac{Q}{S_{2}} \Rightarrow \frac{q}{1 - \cos \phi} = \frac{Q}{1 + \cos \phi} \Rightarrow q + q \cos \phi = Q - Q \cos \phi \Rightarrow \cos \phi = \frac{Q - q}{Q + q}$.
Отсюда найдем величину $r$:
$r = R \sin \phi$,
$\sin \phi = \sqrt{1 - \cos^{2} \phi} = \sqrt{1 - \left ( \frac{Q - q}{Q + q} \right )^{2}} = \frac{2 \sqrt{Qq}}{Q + q}$,
$r = \frac{2R \sqrt{Qq}}{Q + q}$.
Осуществим подстановки: $F = \frac{ \sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}} \pi r^{2}$;
$\sigma = \frac{Q + q}{4 \pi R^{2}} \Rightarrow F = \frac{ \pi}{2 \epsilon_{0}} \left ( \frac{Q+q}{4 \pi R^{2}} \frac{2R \sqrt{qQ}}{Q+q} \right )^{2} = \frac{ \pi}{2 \epsilon_{0}} \frac{qQ}{4 \pi^{2}R^{2}} = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{R^{2}}$.
Ответ: $F = \frac{1}{8 \pi \epsilon_{0}} \frac{qQ}{R^{2}}$.
