Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5995
2018-01-06 
Капилляр представляет собой усеченный конус, радиус нижнего основания которого втрое больше верхнего радиуса $R_{0}$, длина капилляра равна $H$. Капилляр медленно опускают нижним основанием на поверхность воды. Найти максимальный радиус капилляра $R_{0}$, при котором вода поднимется на всю его высоту. Поверхностное натяжение воды $\sigma$ известно. Внутреннюю поверхность капилляра считать абсолютно смачиваемой.
Решение:
Пусть радиус капилляра определяется соотношением $R = 3R_{0} - 2R_{0}(h/H), h = H(3 - R/R_{0})/2$.
Разность давлений $\Delta p$, создаваемая под мениском в трубке радиуса $R$, определяется как
$2 \pi R \sigma = \Delta p \pi R, \Delta p = \frac{2 \sigma}{R}$.
Если вода поднялась на высоту $h$, то имеем $2 \sigma/R = \rho gh$, или $2 \sigma /\rho gh = R$. Казалось бы, что при радиусе $R_{0} = 2 \sigma / \rho gH$ вода должна подняться до высоты $H$. Однако этого не произойдет, так как вода в этом случае остановится на уровне $H/2$ при радиусе капилляра $2R_{0}$.
При дальнейшем уменьшении радиуса $R_{0}$ должно выполниться условие, что во всем диапазоне $h$ (от нуля до $H$) радиус капилляра меньше, чем $2 \sigma / \rho gh$:
$\frac{ 2 \sigma}{ \rho gh} = 3R_{0} - 2R_{0} \frac{h}{H}$,
$\left ( \frac{h}{H} \right )^{2} - \frac{3}{2} \frac{h}{H} + \frac{ \sigma}{HR_{0} \rho g} = 0$.
В искомой точке решение должно быть одно:
$D = \left ( \frac{3}{4} \right )^{2} - \frac{ \sigma}{HR_{0} \rho g} = 0$.
Преобразуем:
$\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} - \frac{ \sigma}{HR_{0} \rho g} = 0$,
$\frac{1 - 16 \sigma}{9R_{0}H \rho g} = 0$.
Откуда получим $R_{0} = \frac{16 \sigma}{9 \rho gH} = 0$.
Ответ: $R_{0} = 0$.
Капилляр представляет собой усеченный конус, радиус нижнего основания которого втрое больше верхнего радиуса $R_{0}$, длина капилляра равна $H$. Капилляр медленно опускают нижним основанием на поверхность воды. Найти максимальный радиус капилляра $R_{0}$, при котором вода поднимется на всю его высоту. Поверхностное натяжение воды $\sigma$ известно. Внутреннюю поверхность капилляра считать абсолютно смачиваемой.
Решение:
Пусть радиус капилляра определяется соотношением $R = 3R_{0} - 2R_{0}(h/H), h = H(3 - R/R_{0})/2$.
Разность давлений $\Delta p$, создаваемая под мениском в трубке радиуса $R$, определяется как
$2 \pi R \sigma = \Delta p \pi R, \Delta p = \frac{2 \sigma}{R}$.
Если вода поднялась на высоту $h$, то имеем $2 \sigma/R = \rho gh$, или $2 \sigma /\rho gh = R$. Казалось бы, что при радиусе $R_{0} = 2 \sigma / \rho gH$ вода должна подняться до высоты $H$. Однако этого не произойдет, так как вода в этом случае остановится на уровне $H/2$ при радиусе капилляра $2R_{0}$.
При дальнейшем уменьшении радиуса $R_{0}$ должно выполниться условие, что во всем диапазоне $h$ (от нуля до $H$) радиус капилляра меньше, чем $2 \sigma / \rho gh$:
$\frac{ 2 \sigma}{ \rho gh} = 3R_{0} - 2R_{0} \frac{h}{H}$,
$\left ( \frac{h}{H} \right )^{2} - \frac{3}{2} \frac{h}{H} + \frac{ \sigma}{HR_{0} \rho g} = 0$.
В искомой точке решение должно быть одно:
$D = \left ( \frac{3}{4} \right )^{2} - \frac{ \sigma}{HR_{0} \rho g} = 0$.
Преобразуем:
$\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} - \frac{ \sigma}{HR_{0} \rho g} = 0$,
$\frac{1 - 16 \sigma}{9R_{0}H \rho g} = 0$.
Откуда получим $R_{0} = \frac{16 \sigma}{9 \rho gH} = 0$.
Ответ: $R_{0} = 0$.
