Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5994
2018-01-06 
Космический парусник, представляющий собой идеально отражающее зеркало площадью $S$ и массой $M$, вращается по стационарной орбите вокруг Солнца. Скорость движения равна $V_{0}$, радиус орбиты - $R$, интенсивность светового потока на данной орбите - $I_{0}$. Определить, за какое минимальное время может парусник увеличить радиус орбиты в четыре раза. Как он при этом должен действовать?
Решение:
Очевидно, что сила реакции светового потока при зеркальном отражении от зеркала должна иметь максимально возможную тангенциальную составляющую, так как радиальная составляющая только незначительно увеличивает радиус стационарной орбиты и не может в силу своей малости обеспечить удаление на бесконечность.
Очевидно, что тангенциальную силу можно определить как
$F \tau = \frac{I_{0}}{c} \left ( S \sin \alpha \cos \left ( \frac{2a - \pi}{2} \right ) \right ) = \frac{I_{0}}{c} S \sin \alpha \sin 2 \alpha = \frac{2I_{0}S}{c} (1 - \cos^{2} \alpha ) \cos \alpha$.
Сила достигает максимума при $\cos \alpha = 1/ \sqrt{3}, \alpha = 54^{ \circ}, 2 \alpha - \pi /2 = 180^{ \circ}$.
Тангенциальное ускорение, с которым движется парус,
$a = - \frac{ F \tau}{M} = - \frac{4}{3 \sqrt{3}} \frac{IS}{cM}$,
где $I = I_{0} \frac{R^{2}}{r^{2}}$.
Скорость на орбите в зависимости от радиуса равна
$V^{2} = V_{0}^{2} \frac{R}{r}$,
где $\frac{R}{r} = \left ( \frac{V}{V_{0}} \right )^{4}$.
Внесем $V_{0}$ под знак дифференциала:
$\frac{d \left ( \frac{V}{V_{0}} \right )}{dt} = - \frac{4}{3 \sqrt{3}} SV_{0}I_{0} \left ( \frac{V}{V_{0}} \right )^{4} cM$.
Откуда $\left ( \frac{V_{0}}{V} \right )^{3} - 1 = \frac{4}{ \sqrt{3}} \frac{SV_{0}I_{0}}{cM} t = \left ( \frac{r}{R} \right )^{3/2} - 1$.
Ответ: $t = \frac{ \frac{7 \sqrt{3}}{4}}{ \frac{SV_{0}I_{0}}{cM}}$.
Космический парусник, представляющий собой идеально отражающее зеркало площадью $S$ и массой $M$, вращается по стационарной орбите вокруг Солнца. Скорость движения равна $V_{0}$, радиус орбиты - $R$, интенсивность светового потока на данной орбите - $I_{0}$. Определить, за какое минимальное время может парусник увеличить радиус орбиты в четыре раза. Как он при этом должен действовать?
Решение:
Очевидно, что сила реакции светового потока при зеркальном отражении от зеркала должна иметь максимально возможную тангенциальную составляющую, так как радиальная составляющая только незначительно увеличивает радиус стационарной орбиты и не может в силу своей малости обеспечить удаление на бесконечность.
Очевидно, что тангенциальную силу можно определить как
$F \tau = \frac{I_{0}}{c} \left ( S \sin \alpha \cos \left ( \frac{2a - \pi}{2} \right ) \right ) = \frac{I_{0}}{c} S \sin \alpha \sin 2 \alpha = \frac{2I_{0}S}{c} (1 - \cos^{2} \alpha ) \cos \alpha$.
Сила достигает максимума при $\cos \alpha = 1/ \sqrt{3}, \alpha = 54^{ \circ}, 2 \alpha - \pi /2 = 180^{ \circ}$.
Тангенциальное ускорение, с которым движется парус,
$a = - \frac{ F \tau}{M} = - \frac{4}{3 \sqrt{3}} \frac{IS}{cM}$,
где $I = I_{0} \frac{R^{2}}{r^{2}}$.
Скорость на орбите в зависимости от радиуса равна
$V^{2} = V_{0}^{2} \frac{R}{r}$,
где $\frac{R}{r} = \left ( \frac{V}{V_{0}} \right )^{4}$.
Внесем $V_{0}$ под знак дифференциала:
$\frac{d \left ( \frac{V}{V_{0}} \right )}{dt} = - \frac{4}{3 \sqrt{3}} SV_{0}I_{0} \left ( \frac{V}{V_{0}} \right )^{4} cM$.
Откуда $\left ( \frac{V_{0}}{V} \right )^{3} - 1 = \frac{4}{ \sqrt{3}} \frac{SV_{0}I_{0}}{cM} t = \left ( \frac{r}{R} \right )^{3/2} - 1$.
Ответ: $t = \frac{ \frac{7 \sqrt{3}}{4}}{ \frac{SV_{0}I_{0}}{cM}}$.
