ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-01-06   
По наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ скатываются, касаясь друг друга, два цилиндра одинакового радиуса и одинаковой массы. Один из цилиндров сплошной, а другой пустотелый. С каким ускорением будет двигаться эта система, если известно, что цилиндры постоянно касаются друг друга, а коэффициент трения между ними равен $k$? Считать, что проскальзывание между цилиндрами и наклонной плоскостью отсутствует.


Решение:



Нижний цилиндр пустотелый (если бы внизу находился сплошной, то он укатился бы вниз без пустотелого, так как момент инерции сплошного цилиндра больше, а значит, скорость, приобретаемая ЦМ за одинаковые приращения энергии каждого из цилиндров, у сплошного больше). Составим уравнения поступательного движения:
для пустотелого цилиндра

$ma = mg \sin \alpha + N - T_{1}$,

для сплошного

$ma = mg \sin \alpha - N - T_{2}$.

Уравнения динамики вращательного движения относительно оси цилиндра имеют вид

$a_{ \tau} = R \epsilon$,

где $\epsilon$ - угловое ускорение цилиндра. Моменты инерции цилиндра относительно оси вращения равны $I_{1} = MR^{2}$ и $I_{2} = \frac{MR^{2}}{2}$.
Уравнения динамики вращательного движения получат вид

$\frac{ mR^{2} \frac{a}{R} = T_{1} - T}{R}$,
$\frac{ \frac{ mR^{2}}{2} \frac{a}{R} = T_{2} - T}{R}$,

Поскольку между цилиндрами имеет место проскальзывание, сила $T = kN$.
Далее совершаем следующие преобразования:

$2ma = mg \sin \alpha + N - T = mg \sin \alpha + N (1 - k)$,
$\frac{3ma}{2} = mg \sin \alpha - N - T = mg \sin \alpha - N (1 + k)$,
$a \left ( \frac{2}{1 - k} + \frac{3}{2(1 + k)} \right ) = g \sin \alpha \left ( \frac{1}{1-k} + \frac{1}{1 + k} \right )$,
$a = \frac{4g \sin \alpha}{4(k + 1) + 3( 1 - k )} = \frac{4g \sin \alpha}{7 + k}$.

Ответ: $a = \frac{4g \sin \alpha}{7 + k}$.