Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5992
2018-01-06 
Два одинаковых сплошных цилиндра массой $M$ катятся по горизонтальной поверхности таким образом, что один цилиндр толкает перед собой другой. К оси толкающего цилиндра приложена горизонтальная сила $F$. Коэффициент трения между поверхностью и цилиндрами и между цилиндрами одинаков и равен $k$. Определить силу $F$, при которой начнется проскальзывание между поверхностью и хотя бы одним из цилиндров.
Решение:
Пусть силы трения первого и второго цилиндров с поверхностью равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Сила трения между цилиндрами равна $T$. Сила давления между цилиндрами равна $O$. Тогда уравнения поступательного движения для ЦМ будут иметь вид:
для первого цилиндра
$F - P - T_{1} = Ma$, (1)
для второго цилиндра
$P - T_{2} = Ma$, (2)
где $a$ - ускорение ЦМ обоих цилиндров. Уравнения вращательного движения относительно оси цилиндра имеют вид
$(T_{1} - T)R = I \epsilon_{1}$,
$(T_{2} - T)R = I \epsilon_{2}$,
где слева записан момент сил относительно оси вращения; $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$ - угловые ускорения цилиндров; $I = \frac{MR^{2}}{2}$ - момент инерции цилиндра относительно оси вращения. Тогда
$T_{1} - T = \frac{MR}{2} \epsilon_{1}$, (3)
$T_{2} - T = \frac{MR}{2} \epsilon_{2}$. (4)
При малом значении силы $F$ проскальзывание между цилиндрами и поверхностью отсутствует и тогда
$T = kP$, (5)
$a_{цм} = a_{ \tau} = R \epsilon_{1} = R \epsilon_{2}$. (6)
Из формул (1) - (2) следует
$T_{1} = T_{2}, P = F/2$. (7)
Складывая (1) и (3), с учетом (6) получим
$F - P - T = (3/2)Ma$,
откуда $F = \frac{3Ma}{1 - k}$, (8)
$a = \frac{F(1 - k)}{3M}$.
Из (3) и (6) имеем $T_{1} - T = \frac{M a_{ \tau}}{2}$. С учетом (5), (7), (8) получим
$T_{1} = \frac{Ma}{2} + \frac{k}{2} \frac{3Ma}{1 - k}$,
$T_{1} = F(1 + 2k )/6$. (9)
Реакция опоры $N_{1}$ меньше $N_{2}$, так как из второго закона Ньютона в проекции на вертикаль получим $N_{1} = Mg - T$, а $N_{2} = Mg + T$. Поэтому проскальзывание произойдет раньше у первого цилиндра (при одинаковых коэффициентах трения), его и будем рассматривать.
Проскальзывание начнется при условии $T_{1} = kN_{1} = k (Mg - T)$. С учетом (5), (7), (9) получаем
$\frac{F (1 + 2k)}{6} = k \left ( \frac{Mg - kF}{2} \right ) \Rightarrow F = \frac{6kMg}{1 + 2k + 3k^{2}}$.
Ответ: $F = \frac{6kMg}{1 + 2k + 3k^{2}}$.
Два одинаковых сплошных цилиндра массой $M$ катятся по горизонтальной поверхности таким образом, что один цилиндр толкает перед собой другой. К оси толкающего цилиндра приложена горизонтальная сила $F$. Коэффициент трения между поверхностью и цилиндрами и между цилиндрами одинаков и равен $k$. Определить силу $F$, при которой начнется проскальзывание между поверхностью и хотя бы одним из цилиндров.
Решение:
Пусть силы трения первого и второго цилиндров с поверхностью равны $T_{1}$ и $T_{2}$ соответственно. Сила трения между цилиндрами равна $T$. Сила давления между цилиндрами равна $O$. Тогда уравнения поступательного движения для ЦМ будут иметь вид:
для первого цилиндра
$F - P - T_{1} = Ma$, (1)
для второго цилиндра
$P - T_{2} = Ma$, (2)
где $a$ - ускорение ЦМ обоих цилиндров. Уравнения вращательного движения относительно оси цилиндра имеют вид
$(T_{1} - T)R = I \epsilon_{1}$,
$(T_{2} - T)R = I \epsilon_{2}$,
где слева записан момент сил относительно оси вращения; $\epsilon_{1}$ и $\epsilon_{2}$ - угловые ускорения цилиндров; $I = \frac{MR^{2}}{2}$ - момент инерции цилиндра относительно оси вращения. Тогда
$T_{1} - T = \frac{MR}{2} \epsilon_{1}$, (3)
$T_{2} - T = \frac{MR}{2} \epsilon_{2}$. (4)
При малом значении силы $F$ проскальзывание между цилиндрами и поверхностью отсутствует и тогда
$T = kP$, (5)
$a_{цм} = a_{ \tau} = R \epsilon_{1} = R \epsilon_{2}$. (6)
Из формул (1) - (2) следует
$T_{1} = T_{2}, P = F/2$. (7)
Складывая (1) и (3), с учетом (6) получим
$F - P - T = (3/2)Ma$,
откуда $F = \frac{3Ma}{1 - k}$, (8)
$a = \frac{F(1 - k)}{3M}$.
Из (3) и (6) имеем $T_{1} - T = \frac{M a_{ \tau}}{2}$. С учетом (5), (7), (8) получим
$T_{1} = \frac{Ma}{2} + \frac{k}{2} \frac{3Ma}{1 - k}$,
$T_{1} = F(1 + 2k )/6$. (9)
Реакция опоры $N_{1}$ меньше $N_{2}$, так как из второго закона Ньютона в проекции на вертикаль получим $N_{1} = Mg - T$, а $N_{2} = Mg + T$. Поэтому проскальзывание произойдет раньше у первого цилиндра (при одинаковых коэффициентах трения), его и будем рассматривать.
Проскальзывание начнется при условии $T_{1} = kN_{1} = k (Mg - T)$. С учетом (5), (7), (9) получаем
$\frac{F (1 + 2k)}{6} = k \left ( \frac{Mg - kF}{2} \right ) \Rightarrow F = \frac{6kMg}{1 + 2k + 3k^{2}}$.
Ответ: $F = \frac{6kMg}{1 + 2k + 3k^{2}}$.
